Производная высшего порядка

Если функция $y = f\left( x \right)$ имеет производную в каждой точке $x$ своей области определения, то ее производная $f’\left( x \right)$ есть функция от $x$. Функция $y = f’\left( x \right)$, в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции $y = f\left( x \right)$ (или второй производной) и обозначают символом $f»\left( x \right)$. Таким образом

\[f»\left( x \right) = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f’\left( x \right) — f’\left( {{x_0}} \right)}}{{x — {x_0}}} = {\left( {f’\left( x \right)} \right)^\prime }\]

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная $n$-го порядка функции $f\left( x \right)$ есть первая производная от производной $n-1$-го порядка этой функции:

\[{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \frac{{{d^n}y}}{{d{x^n}}} = {\left( {{f^{\left( {n — 1} \right)}}\left( x \right)} \right)^\prime }\]

Число $n$, указывающее порядок производной, заключается в скобки.