Последовательности

Числовой последовательностью называется отображение $a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$.

Вместо $a\left( n \right)$ обычно пишут ${a_n}$ — это общий член числовой последовательности.

Последовательность, общий член которой ${a_n}$, обозначатся $\left\{ {{a_n}} \right\}$.

Ограниченность

Числовая последовательность $\left\{ {{a_n}} \right\}$  является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число $K \in \mathbb{R}$, такое что $|{a_n}| \leqslant K$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Сходимость

Предел числовой последовательности

Последовательность $\left\{ {{a_n}} \right\}$ называется сходящейся, если существует такое число $a$, что для любого $\varepsilon  > 0$ можно указать такой номер ${n_0} \in \mathbb{N}$, такой что, $|{a_n} — a| < \varepsilon, \quad n \geqslant {n_0}.$ 

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{ {{a_n}} \right\}$:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = a$.

Монотонность

Последовательность $\left\{ {{a_n}} \right\}$ называется неубывающей, если

${a_{n + 1}} \geqslant {a_n},\quad n \in \mathbb{N}.$

Последовательность $\left\{ {{a_n}} \right\}$ называется возрастающей, если

${a_{n — 1}} > {a_n},\quad n \in \mathbb{N}.$

Последовательность $\left\{ {{a_n}} \right\}$ называется невозрастающей, если

${a_{n + 1}} \leqslant {a_n},\quad n \in \mathbb{N}.$

Последовательность  $\left\{ {{a_n}} \right\}$ называется убывающей, если

${a_{n + 1}} < {a_n} \quad n \in \mathbb{N}.$

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.

Теоремы о последовательностях

1. Сходящиеся последовательности ограничены.
2. Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон. (Теорема Вейерштрасса об ограниченных последовательностях).
3. Последовательность $\left\{ {{a_n}} \right\}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon  > 0$ найдётся ${n_0} = {n_0}\left( \varepsilon  \right) \in \mathbb{N}$ , такой что
   $\left| {{a_n} — {a_m}} \right| < \varepsilon ,\quad m \geqslant {n_{0,}}n \geqslant {n_0}.$
4. Пусть последовательности $\left\{ {{a_n}} \right\}$ и $\left\{ {{b_n}} \right\}$ сходятся к  $a$ и $b$, т. е.
   $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = a,{\text{  }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {b_n} = b$,
   тогда для $\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}$ справедливо
   $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\alpha {a_n} + \beta {b_n}} \right) = \alpha a + \beta b,\quad \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_n}{b_n}} \right) = ab$.
   И если, кроме того, $b \ne 0$ и ${b_n} \ne 0$, для $n \geqslant {n_0} \in \mathbb{N}$, тогда
   $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \frac{a}{b}$.
5. Если $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = a$, тогда $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = \left| a \right|$.
6. Если последовательность $\left\{ {{a_n}} \right\}$ ограничена, а предел  последовательности $\left\{ {{b_n}} \right\}$ равен 0, тогда предел последовательности $\left\{ {{a_n}{b_n}} \right\}$ равет 0.
7. Если $\left\{ {{a_n}} \right\}$, то $k \leqslant {a_n} \leqslant K$ и, если $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = a$, тогда $k \leqslant a \leqslant K$.
8. Пусть последовательности $\left\{ {{a_n}} \right\}$ и $\left\{ {{b_n}} \right\}$ сходятся к $a$ и $b$ соответственно и пусть ${a_n} \leqslant {b_n}$, для $n \geqslant {n_0} \in \mathbb{N}$. Тогда
   $a \leqslant b$
9. Пусть последовательности $\left\{ {{a_n}} \right\}$ и $\left\{ {{b_n}} \right\}$ сходятся к одному числу $\alpha $. Если для последовательности $\left\{ {{c_n}} \right\}$ справедливо ${a_n} \leqslant {c_n} \leqslant {b_n}$, за $n \geqslant {n_0} \in \mathbb{N}$.
   Тогда последовательность $\left\{ {{c_n}} \right\}$ сходится к  $\alpha $.

Арифметическая прогрессия (алгебраическая)

Числовая последовательность ${a_1},{a_2},{a_3},…,{a_k},…,{a_n}$, называется арифметической  (алгебраической) прогрессией, если каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного для этой последовательности числа d, т. е.

${a_k} — {a_{k — 1}} = d, \quad k = 2,3,…,n.$

Число $d$ называется разностью данной арифметической прогрессии.

Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

${a_k} = {a_1} + \left( {k — 1} \right)d, \quad k = 2,3,…,n.$

Сумма ${S_k}$ первых $k$ членов арифметической последовательности вычисляется по формуле:

${S_k} = \frac{k}{2}\left( {{a_1} + {a_k}} \right) = \frac{k}{2}\left[ {2{a_1} = \left( {k — 1} \right)d} \right]$,   $k = 1,2,…,n$

Геометрическая прогрессия

Числовая последовательность ${b_1},{b_2},…,{b_k},…{b_n}$ называется геометрической прогрессией, если частное от деления двух любых соседнтх членов есть число постоянное, т. е.

${b_k}:{b_{k — 1}} = q \ne 0$, $k = 2,3,…,n.$

Число $q$ называют знаменателем данной геометрической прогрессии.

Члены геометрической прогрессии имеют вид:

${b_k} = {b_1}{q^{k — 1}},$, $k = 2,3,…,n.$

Сумма ${S_k}$ первых $k$ членов геометрической прогрессии   вычисляется по формуле

${S_k} = {b_1}\frac{{1 — {q^k}}}{{1 — q}}$, $q \ne 1,{\text{ }}k = 1,2,…,n$

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии  (|q| < 1)  вычисляется по формуле:

$S = {b_1} + {b_1}{q^2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {b_1}{q^{n — 1}} +  \cdot  \cdot  \cdot  = \frac{{{b_1}}}{{1 — q}}, {\text{   }}|q| < 1$

Число $e$

$e$ — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828.

Иногда число $e$ называют числом Эйлера. Обозначается строчной латинской буквой «$e$».

Число $e$ может быть определено через предел последовательности  $\left\{ {{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}} \right\}$:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e = 2.718{\text{ }}281{\text{ }}828{\text{ }}459…$

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли утверждает: если  $1 + h > 0$, где $h$ действи́тельное число, тогда

$\left( {1 + h} \right)^n \geqslant 1 + nh, \quad n \in \mathbb{N}.$