Треугольник

Сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны треугольника, а разность длин двух сторон треугольника меньше длины третьей стороны.

$a + b > c$,

${\rm{   }}a — b < c$.

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ $

$\alpha  + \beta  + \gamma  = 180^\circ $,

а сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна

${\alpha _1} + {\beta _1} + {\gamma _1} = 360^\circ $.

Вешний угол одного угла треугольника равен сумме остальных двух внутренних углов треугольника ${\alpha _1} = \beta  + \gamma $.

Четыре важных точки треугольника

Центр тяжести треугольника.

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы).

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Центр тяжести делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.

Длина медианы ${m_a}$ на сторону $a$ вычисляется по формуле:

${m_a} = \frac{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) — {a^2}} }}{2}$

Центр вписанной окружности

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

Длина биссектрисы ${l_a}$ на сторону $a$ вычисляется по формуле:

${l_a } = \frac{{\sqrt {bc\left( {{{\left( {b + c} \right)}^2} — {a^2}} \right)} }}{{b + c}}$

Радиус окружности вписанной в треугольник вычисляется по формуле:

$r = \sqrt {\frac{{\left( {p — a} \right)\left( {p — b} \right)\left( {p — c} \right)}}{p},} {\rm{    }}p = \frac{{a + b + c}}{2}.$

Ортоцентр

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника  – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Длина высоты на сторону $a$ вычисляется по формуле:

${h_a} = c\sin \beta  = b\sin \gamma .$

Центр описаной окружности

Прямую, проходящую через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней, называют серединным перпендикуляром стороны треугольника.

Серединные перпендикулры сторон треугольника пересекаются в одной точке и являются центром окружности, описанной около этого треугольника..

Радиус окружности, описанной около треугольника вычисляется по формуле:

$R = \frac{{a + b + c}}{{8\cos \frac{a}{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}}}$.

У равнобедренного треугольника биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

У равностороннего треугольника $\left( {a = b = c} \right)$ центры вписанной и описанной окружностей, центр тяжести и ортоцентр совпадают.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Периметр и площадь треугольника

Периметр $O$ и площадь $P$ треугольника вычисляется по формулам:

$O = a + b + c$,

$P = \frac{{a{h_a}}}{2} = rp = \frac{{abc}}{{4R}}$.

Формула Герона

$P = \sqrt {p\left( {p — a} \right)\left( {p — b} \right)\left( {p — c} \right)} ,{\rm{   }}p = \frac{{a + b + c}}{2}$

Признаки равенства треугольников

Треугольники $ABC$ и ${A_1}{B_1}{C_1}$ равны $\Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ тогда и только тогда, когда

$AB = {A_1}{B_1}, BC = {B_1}{C_1}, CA = {C_1}{A_1}$

$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}, {\text{   }}\measuredangle B = \measuredangle {B_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle C = \measuredangle {C_1}$

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

$$AB = {A_1}{B_1}{\rm{  }}AC = {A_1}{C_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle А = \measuredangle {A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}.$$

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

$AB = {A_1}{B_1}, \measuredangle A = \measuredangle {A_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle B = \measuredangle {B_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треуугольника, то такие треугольники равны.

$AB = {A_1}{B_1},{\rm{  }}BC = {B_1}{C_1},{\quad}и{\quad}CA = {C_1}{A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Четвёртый признак равенства треугольников

Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторанам другого треугольника и угол, лежащий против большей из этих сторон, равен  соответствующему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

$AC = {A_1}{C_1}, BC = {B_1}{C_1}, BC > AC,$

${\quad}и{\quad}\measuredangle A = \measuredangle {A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}.$

Подобие треугольников

Треугольники $ABC$ и ${A_1}{B_1}{C_1}$ подобны $\Delta ABC \sim {A_1}{B_1}{C_1}$, тогда и только тогда, когда

$\measuredangle A = \measuredangle A, \measuredangle B = \measuredangle {B_1},{\text{ }}\measuredangle C = \measuredangle {C_1}$,

и

$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1} = CA:{C_1}{A_1}$

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}$ и $\measuredangle B = \measuredangle {B_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}{\quad}и{\quad}AB:{A_1}{B_1} = AC:{A_1}{C_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1} = CA:{C_1}{A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Четврти став

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, один из углов, противолежащих этим сторонам первого треугольника, равен соответстветствующиму углу второго треугольника, а второй угол, противолежащей этим сторонам, одног типа, что и соответствующий ему угол второго треугольника (т. е. острый, прямой или тупой), то такие треугольники подобны.

$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1}$ и $\measuredangle A = \measuredangle {A_1}$ и $\measuredangle C{\text{ }}$ и ${\text{ }}\measuredangle {C_1}$ су исте врсте $ \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Прямоугольный треугольник

Пусть $a$ и $b$ катеты, а $c$ гипотенуза прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора

${a^2} + {b^2} = {c^2}$

Если $h$ высота, опущенная на гипотенузу, $p$ и $q$ проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу, тогда

${h^2} = pq,\quad{a^2} = pc,\quad{b^2} = qc$

SLIKA

Площадь прямоугольного треугольника

$P = \frac{{ab}}{2} = \frac{{{a^2}tg\beta }}{2} = \frac{{{c^2}\sin 2\beta }}{4}$

Периметр и площадь равностороннего треугольника

$O = 3a,\quad P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

${m_a} = {l_\alpha } = {h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\quad r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},\quad R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

SLIKA

Тригонометрические соотношения

Определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике

Пусть $a$ и $b$ катеты, а $c$ гипотенуза , а $\alpha $ и $\beta $ углы, соответствующие катетам $a$ и $b$. Тогда

$\alpha  + \beta  = {90^ \circ }$

$\sin \alpha  = \cos \beta  = \frac{a}{c},{\text{   }}\cos \alpha  = \sin \beta  = \frac{b}{c},$

${\text{tg}}\alpha  = {\text{ctg}}\beta  = \frac{a}{b},{\text{   ctg}}\alpha  = {\text{tg}}\beta {\text{ = }}\frac{b}{a}$.

SLIKA

Пусть $a$, $b$ и $c$ стороны, а $\alpha $, $\beta$ и $\gamma $ соответствующие им углы треугольника, полупериметр $p = \frac{{a + b + c}}{2}$, радиус описанной окружности $R$, а радиус вписанной окружности $r$.

Теореиа синусов

$\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} = 2R.$

Теорема косинусов

${a^2} = {b^2} + {c^2} — 2bc\cos \alpha $

${b^2} = {a^2} + {c^2} — 2ac\cos \beta $

${c^2} = {a^2} + {b^2} — 2ab\cos \gamma $

Теорема тангенсов

$\frac{{a — b}}{{a + b}} = \frac{{tg\frac{{\alpha  — \beta }}{2}}}{{tg\frac{{\alpha  + \beta }}{2}}} = \frac{{tg\frac{{\alpha  — \beta }}{2}}}{{ctg\frac{\gamma }{2}}}$

Формулы тригонометрических функций половинных углов

$tg\frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p — a} \right)\left( {p — b} \right)}}{{p\left( {p — c} \right)}},} $

$\sin \frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{\left( {p — a} \right)\left( {p — b} \right)}}{{ab}},} $

$\cos \frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p — c} \right)}}{{ab}}.} $

Важные формулы

$\frac{{a + b}}{c} = \frac{{\cos \frac{{\alpha  — \beta }}{2}}}{{\sin \frac{\gamma }{2}}} = \frac{{\cos \frac{{\alpha  — \beta }}{2}}}{{cos\frac{{\alpha  + \beta }}{2}}}$,

$\frac{{a — b}}{c} = \frac{{\sin \frac{{\alpha  — \beta }}{2}}}{{\cos \frac{\gamma }{2}}} = \frac{{\sin \frac{{\alpha  — \beta }}{2}}}{{\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2}}}$,

$c = a\cos \beta  + b\cos \alpha$,

$R = \frac{p}{{4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}}},{\text{   }}p = \frac{{a + b + c}}{2}$,

$r = ptg\frac{\alpha }{2}tg\frac{\beta }{2}tg\frac{\gamma }{2}$,

$r = 4R\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}$,

$r = \left( {p — c} \right)tg\frac{\gamma }{2}$,

${h_c} = a\sin \beta  + b\sin \alpha$,

${m_c} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab\cos \gamma } }}{2},$,

${l_\gamma } = \frac{{2ac\cos \frac{\beta }{2}}}{{a + b}} = \frac{{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}}{{b + c}}$,

$P = \frac{{ab\sin \gamma }}{2},\quad P = 2{R^2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$,

$P = {c^2}\frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{2\sin \gamma }} = {c^2}\frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{2\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}$.