Многоугольник

Сумма всех углов $n$-угольника равна $\left( {n — 2} \right){180^ \circ }$.

Сумма всех внешних углов $n$-угольника равна ${360^ \circ }$.

Количество диагоналей $n$-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: $\frac{{n\left( {n — 3} \right)}}{2}$.

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны или углы одинаковые.

Пусть дан правильный многоугольник у которого: $n$ — число сторон, $\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n}$ — центральный угол, $\beta = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n}$ — внешний угол, $\alpha = {180^ \circ } — \beta $ — внутренний угол, $a$ — длина стороны, $R$ — радиус описанной окружности и $P$ — площадь.

Основные формулы

$n$	$R = \frac{a}{{2\sin \frac{\pi }{n}}}$	$r = \frac{a}{{tg\frac{\pi }{n}}}$	$P = \frac{{nar}}{2}$
3	$\frac{a}{3}\sqrt 3 $	$\frac{a}{6}\sqrt 3 $	$\frac{{{a^2}}}{4}\sqrt 3 $
4	$\frac{a}{2}\sqrt 2 $	$\frac{a}{2}$	${a^2}$
5	$a\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}} $	$a\sqrt {\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}} $	$\frac{{{a^2}}}{4}\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } $
6	$a$	$\frac{a}{2}\sqrt 3 $	$\frac{3}{2}{a^2}\sqrt 3 $
8	$a\sqrt {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} $	$\frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$	$2{a^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$
10	$\frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$	$\frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } $	$\frac{5}{2}{a^2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } $

$a = 2\sqrt {{R^2} — {r^2}} = 2R\sin \frac{\alpha }{2} = 2r{\rm{tg}}\frac{\alpha }{2}$

$P = \frac{{nar}}{2} = n{r^2}{\rm{tg}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{n{R^2}\sin \alpha }}{2} = \frac{{n{a^2}{\rm{ctg}}\frac{\alpha }{2}}}{4}$