Четырехугольник

Сумма углов четырёхугольника равна 360º . Если $a$, $b$, $c$ и $d$ стороны четырёхугольника, а ${d_1}$ и ${d_2}$ диагонали четырёхугольника, тогда $${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = d_1^2 + d_2^2 + 4{m^2},$$ где $m$ отрезок, соединяющий середины диагоналей четырёхугольника.

Площадь $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{{{d_1}{d_2}\sin \alpha }}{2}$$ $$P = \sqrt {\left( {p — a} \right)\left( {p — b} \right)\left( {p — c} \right)\left( {p — d} \right)} ,{\rm{ }}p = \frac{{a + b + c + d}}{2}$

Для четырёхугольника, у которого диагоноли взаимно перпендикулярны, площадь $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2}$.

Вписанные и описанные четырёхугольники

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тога, когда сумма его противоположных углов равна $ {180^ \circ }$: $$\alpha + \gamma = \beta + \delta = {180^ \circ }$$ Для вписанного четырёхугольника справедливо:

$ac + bd = {d_1}{d_2}.$

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда сумма длин его противоположных сторон равны.

${a} +  {c} = {b} + {d} $