Нека је функција $f$ дефинисана и ограничена на интервалу $\left[ {a,b} \right]$.
Нека је $P$ подела интервала $\left[ {a,b} \right]$ на $n$ подинтервала $\left[ {{x_i} - {x_{i - 1}},{x_i}} \right],i = 1,2,...,n$, при чему је
$a = {x_0} < {x_1} < ... < {x_{n - 1}} < {x_n} = b$
Нека је
$\Delta \left( P \right) = \max \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}:1 \leqslant i \leqslant n} \right) < \delta $
Нека је за свако $i$ изабрано неко ${c_i} \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]$. Број
$\sigma \left( P \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{c_i}} \right)} \left( {{x_i} - {x_{i = 1}}} \right)$
назива се интегрална сума у односу на поделу $P$.
Каже се да је функција $f$ интеграбилна на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ у Римановом смислу ако постоји број $I\left[ {f;a,b} \right]$ са особинама да је за свако $\varepsilon > 0$ постоји $\delta \left( \varepsilon \right) > 0$, такво да је за сваку поделу $P$ , за коју је$\vartriangle \left( P \right) < \delta $, важи
$|\sigma \left( P \right) - I\left[ {f;a,b} \right]| < \varepsilon $
независно од избора тачака ${c_i}$.
Број $I\left[ {f;a,b} \right]$ назива се одређени интеграл функције $f$ на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ и обележава се са
$I\left[ {f;a,b} \right] = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$
где је $x$ променљива интеграције, а $a$ и $b$ су доња, односно горња граница интеграције.
Суме Дарбуа
Нека за дату $P$ важи
${g_i} \leqslant f\left( x \right) \leqslant {G_i}$, $x \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]$, $i = 1,2,...,n$.
Бројеви
$S\left( P \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{G_i}\left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)} $ и $s\left( P \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{g_i}\left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)} $
називају се горња и доња Дабуова сума поделе $P$
Критеријум Риманове интегралности
Функција $f$, дефинисана и ограничена на интервалу $\left[ {a,b} \right]$, интеграбилна је на интервалу $\left[ {a,b} \right]$, тада и само дата када за свако $\varepsilon > 0$ постоји $\delta \left( \varepsilon \right) > 0$, такво да за сваку поделу $P$ важи
$\vartriangle \left( P \right) < \delta \Rightarrow S\left( P \right) - s\left( P \right) < \varepsilon $
Класе функција које су увек интегралне
- Функције непрекидне на интервалу $\left[ {a,b} \right]$,
- Функције ограничене на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ са коначно много тачака прекида,
- Функције ограничене и монотоне на интервалу $\left[ {a,b} \right]$.
Геометријска интерпретације одређеног интеграла
Ако је $f\left( x \right) \geqslant 0$ за $x \in \left[ {a,b} \right]$, онда интеграл $I\left[ {f;a,b} \right]$ представља површину ограничену осом $x$, графиком $f\left( x \right)$ и права $x = a$ и $x = b$.
Ако је $f\left( x \right) \leqslant 0$ за $x \in \left[ {a,b} \right]$, онда је одговарајућа површина $ - I\left[ {f;a,b} \right]$.
Особине одређеног интеграла
- $\mathop \smallint \limits_a^a f\left( x \right)dx = 0$
- Ако постоји$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ за $a < b$, онда је
$\mathop \smallint \limits_b^a f\left( x \right)dx = - \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$
- Ако постоји $\mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)dx$ и $\mathop \smallint \limits_c^b f\left( x \right)dx$, онда постоји $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ и за сваки распоред тачака $a$, $b$ и $c$ је:
$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_c^b f\left( x \right)dx.$
- Ако постоји $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ онда је за сваку константу $C$
$\mathop \smallint \limits_a^b Cf\left( x \right)dx = C\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx.$
- Ако постоје $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ и $\mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx$, онда постоји $\mathop \smallint \limits_a^b \left( f \right.\left( x \right) + g\left. {\left( x \right)} \right)dx$ и важи
$\mathop \smallint \limits_a^b \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx$.
- Ако постоје $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ и $\mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx$ и ако је $f\left( x \right) \leqslant g\left( x \right)$ за $x \in \left[ {a,b} \right]$, онда је
$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx \leqslant \mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx.$
- Ако постоји $\mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx$ онда постоји и $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ и важи
$\left| {\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx} \right| \leqslant \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx$
- Ако је функција $f$ непрекидна на интервалу $\left[ {a,b} \right]$,онда је функција
$F\left( x \right) = \int\limits_\alpha ^x {f\left( t \right)} dt$
Непрекидна на $\left[ {a,b} \right]$ и има извод
$F`\left( x \right) = f\left( x \right)$.
Прва теорема о средњој вредности
Ако је функција $f$ интеграбилна на интервалу $\left[ {a,b} \right]$, $m \leqslant f\left( x \right) \leqslant M,x \in \left[ {a,b} \right]$, онда постоји $\mu \in \left[ {m.M} \right]$, такво да је
$\int\limits_\alpha ^b {f\left( x \right)dx = \mu \left( {b - a} \right)} $
Ако је $f$ непрекидна функција на $\left[ {a,b} \right]$, онда постоји бар једно $\xi \in \left( {a,b} \right)$ такво да је
$\int\limits_\alpha ^b {f\left( x \right)dx = f\left( \xi \right)\left( {b - a} \right)} $
Општа теорема о средњој вредности
Нека су функције $f$ и $g$ интеграбилне на интервалу $\left[ {a,b} \right]$, $m \leqslant f\left( x \right) \leqslant M,{\text{ }}x \in \left[ {a,b} \right]$ и нека $g\left( x \right) \geqslant 0$ (или $g\left( x \right) \leqslant 0$) за $x \in \left[ {a,b} \right]$.
Тада постоји $\mu \in \left[ {m,M} \right]$, такво да је
$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx = \mu \mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx$.
Ако је $f$ непрекида функција на $\left[ {a,b} \right]$, онда постоји бар једно $\xi \in \left( {a,b} \right)$ такво да је
$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx = f\left( \xi \right)\mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx.$
Друга теорема о средњој вредности
Нека је функција $f$ монотона и ограничена на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ и нека је $g$ интеграбилна на $\left[ {a,b} \right]$. Тада постоји бар једно $\xi \in \left( {a,b} \right)$, такво да је
$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx = f\left( a \right)\mathop \smallint \limits_a^\xi g\left( x \right)dx + f\left( b \right)\mathop \smallint \limits_\xi ^b g\left( x \right)dx$.
Инверзија помоћу развоја функције у ред
Нека је функција ${f_k}\left( x \right),k = 1,2,...$ интеграбилне на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ и нека је бесконачан ред
$f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{f_k}\left( x \right)} $
конвергентан равновмерно на $\left[ {a,b} \right]$. Онда је ред $f\left( x \right)$ такође интеграбилан на $\left[ {a,b} \right]$ и важи
$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {\int\limits_a^b {{f_k}\left( x \right)dx} } \right)} $
