Четвороугао – понављање градива

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове конвексног

           четвороугла, ако два унутрашња износе ${106^ \circ }$ и ${59^ \circ }$,

           а један спољашњи износи ${117^ \circ }$.

Пр.2)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове

           паралелограма, ако је један унутрашњи угао ${121^ \circ }$.

Пр.3)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове трапиза,

           ако два унутрашња износе ${106^ \circ }$ и ${59^ \circ }$.

Пр.4)   Израчунати унутрашње углове ромба ако је један угао за ${30^ \circ }$   

           већи од другог.

Пр.5)   Израчунати унутрашње углове једнакокраког трапеза ако је један

            угао три пута већи од другог.

Пр.1)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове конвексног

           четвороугла, ако два унутрашња износе ${106^ \circ }$ и ${59^ \circ }$,

           а један спољашњи износи ${117^ \circ }$.

$\beta  = {59^ \circ }$

$\gamma  = {106^ \circ }$

${\alpha _1} = {117^ \circ }$

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + {117^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {117^ \circ } \hfill \\
\alpha = {63^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
\beta + {\beta _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{59^ \circ } + {\beta _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = {180^ \circ } - {59^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = {121^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
\gamma + {\gamma _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{106^ \circ } + {\gamma _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\gamma _1} = {180^ \circ } - {106^ \circ } \hfill \\
{\gamma _1} = {74^ \circ } \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \hfill \\
{63^ \circ } + {59^ \circ } + {106^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \hfill \\
{228^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \hfill \\
\delta = {132^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
\delta + {\delta _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{132^ \circ } + {\delta _1} = {180^ \circ } \hfill \\
{\delta _1} = {180^ \circ } - {132^ \circ } \hfill \\
{\delta _1} = {48^ \circ } \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

Пр.2)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове

           паралелограма, ако је један унутрашњи угао ${121^ \circ }$.

$\beta  = {121^ \circ }$

$\beta  = \delta  = {\alpha _1} = {\gamma _1}$

$\delta  = {\alpha _1} = {\gamma _1} = {121^ \circ }$

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + {121^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {121^ \circ } \hfill \\
\alpha = {59^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

$\alpha  = {\beta _1} = {\delta _1} = \gamma $

${\beta _1} = {\delta _1} = \gamma  = {59^ \circ }$

Пр.3)   Израчунати преостале унутрашње и спољашње углове трапиза,

           ако два унутрашња износе ${106^ \circ }$ и ${59^ \circ }$.

\[\begin{gathered}
\delta = {106^ \circ } \hfill \\
\beta = {59^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + {106^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {106^ \circ } \hfill \\
\alpha = {74^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
\beta + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
{59^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } \hfill \\
\gamma = {180^ \circ } - {59^ \circ } \hfill \\
\gamma = {121^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
\alpha = {\delta _1} \hfill \\
{\delta _1} = {74^ \circ } \hfill \\
\delta = {\alpha _1} \hfill \\
{\alpha _1} = {106^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\gamma _1} = \beta \hfill \\
{\gamma _1} = {59^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = \gamma \hfill \\
{\beta _1} = {121^ \circ } \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   Израчунати унутрашње углове ромба ако је један угао за ${30^ \circ }$   

           већи од другог.

\[\begin{gathered}
\beta = \alpha + {30^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha + \beta = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + \alpha + {30^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {180^ \circ } - {30^ \circ } \hfill \\
2\alpha = {150^ \circ } \hfill \\
\alpha = 75 \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
\gamma = \alpha = {75^ \circ } \hfill \\
\beta = {75^ \circ } + {30^ \circ } \hfill \\
\beta = {105^ \circ } \hfill \\
\delta = \beta \hfill \\
\delta = {105^ \circ } \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5)   Израчунати унутрашње углове једнакокраког трапеза ако је један

            угао три пута већи од другог.

\[\begin{gathered}
\delta = 3\alpha \hfill \\
\hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\alpha + \delta = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + 3\alpha = {180^ \circ } \hfill \\
4\alpha = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {45^ \circ } \hfill \\
\alpha = 75 \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
\beta = \alpha = {45^ \circ } \hfill \\
\delta = 3 \cdot {45^ \circ } \hfill \\
\delta = {135^ \circ } \hfill \\
\gamma = \delta \hfill \\
\gamma = {135^ \circ } \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]