Једначина тоталног диференцијала

1. Решити диференцијалну једначину тоталног диференцијала $\left( {2{x^3} – x{y^2}} \right)dx + \left( {2{y^3} – {x^2}y} \right)dy = 0$.

$\underbrace {\left( {2{x^3} – x{y^2}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {2{y^3} – {x^2}y} \right)}_Qdy = 0$

Како је

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {2{x^3} – x{y^2}} \right)_y^, =  – 2xy$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {2{y^3} – {x^2}y} \right)_x^, =  – 2xy$

парцијални извод функције  $P$  по  $y$  једнак парцијалном изводу функције  $Q$  по  $x$,  ово јесте диференцијална једначина тоталног диференцијала.

Тада постоји функција  $F\left( {x,y} \right) = C$, чији је тотални диференцијал  $\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial F}}{{\partial y}}dy = 0$

где је $\frac{{\partial F}}{{\partial x}}=P$ и $\frac{{\partial F}}{{\partial y}}=Q$.

С обзиром да је

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P = 2{x^3} – x{y^2}{\rm{   }} {\text{         }} {\text{         }} /\int {} dx$

интегралећи ову једнакост по  $x$ добијамо функцију  $F$.

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx}  = \int {\left( {2{x^3} – x{y^2}} \right)dx} $

Како интегралимо по  $x$,  $y$ представља константу. Па уместо  $C$  додајемо произвољну функцију по  $y$,  односно  $\varphi \left( y \right)$.

$F\left( {x,y} \right) = 2\frac{{{x^4}}}{4} – {y^2}\frac{{{x^2}}}{2} + \varphi \left( y \right) {\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

Функцију  $\varphi \left( y \right)$  је још потребно одредити, па радимо парцијални извод добијене једнакости по  $y$,  јер тиме добијамо  $\frac{{\partial F}}{{\partial y}}$  који ћемо изједначити са  $Q$.

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {2\frac{{{x^4}}}{4} – {y^2}\frac{{{x^2}}}{2} + \varphi \left( y \right)} \right)_y^,$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} =  – \frac{{{x^2}}}{2}2y + \varphi ‘\left( y \right) = Q$

$ – {x^2}y + \varphi ‘\left( y \right) = 2{y^3} – {x^2}y$

Одавде добијамо да је $\varphi ‘\left( y \right)$

$\varphi ‘\left( y \right) = 2{y^3}{\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} /\int {} dy$

интегралећи по  $y$  добићемо функцију  $\varphi \left( y \right)$

$\int {\varphi ‘\left( y \right)} dy = \int {2{y^3}} dy$

$\varphi \left( y \right) = 2\frac{{{y^4}}}{4} + C_1$

Коначно, тражена функција  $F$ 

\[F\left( {x,y} \right) = \frac{{{x^4}}}{2} – \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{2} + C_1\]

Како је  $F\left( {x,y} \right) = C$,  решење полазне диференцијалне једначине је

\[\frac{{{x^4}}}{2} – \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{2} = C\]

2. Одреди решење диференцијалне једначине тоталног диференцијала $\left( {{x^3} + 3x{y^2}} \right)dx + \left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)dy = 0$ које задовољава почетни услов $T\left( {1,1} \right)$.

$\underbrace {\left( {{x^3} + 3x{y^2}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)}_Qdy = 0$

Како је

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {{x^3} + 3x{y^2}} \right)_y^, = 3x \cdot 2y = 6xy$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)_x^, = 3y \cdot 2x = 6xy$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}}=\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$  ово јесте диференцијална једначина тоталног диференцијала.

$\exists F\left( {x,y} \right) = C:{\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

Пођимо сада од чињенице да је

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = Q = {y^3} + 3{x^2}y{\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} /\int {} dy$

интегралећи ову једнакост по  $y$,  добићемо функцију  $F$.

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}dy}  = \int {\left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)dy} $

Како сада интегралимо по  $y$,  $x$  представља константу, па уместо  $C$  сада додајемо произвољну функцију по  $x$,  односно  $\varphi \left( x \right)$.

$F\left( {x,y} \right) = \frac{{{y^4}}}{4} + 3{x^2}\frac{{{y^2}}}{2} + \varphi \left( x \right){\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} /\frac{\partial }{{\partial x}}$

Функцију  $\varphi \left( x \right)$  је потребно одредити, што ћемо учинити тако што ћемо одредити парцијални извод добијене функције  $F$  по  $x$  и изједначити га са  $P$.

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \left( {\frac{{{y^4}}}{4} – 3{x^2}\frac{{{y^2}}}{2} + \varphi \left( x \right)} \right)_x^,$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \frac{3}{2}{y^2}2x + \varphi ‘\left( x \right) = P$

$3{y^2}x + \varphi ‘\left( x \right) = {x^3} + 3x{y^2}$

На овај начин смо добили

$\varphi ‘\left( x \right) = {x^3}{\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} /\int {} dx$

Интегралећи  $\varphi ‘\left( x \right)$  по  $x$,  добијамо саму функцију  $\varphi \left( x \right)$

$\int {\varphi ‘\left( x \right)} dx = \int {{x^3}} dx$

$\varphi \left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C_1$

Сада је тражена функција  $F$

\[F\left( {x,y} \right) = \frac{{{y^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{4} + C_1\]

односно решење полазне диференцијалне једначине         

\[\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{4} = C\]

уврштавајући почетни услов добијамо   ${\text{         }} \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = C {\text{         }}{\text{         }} \Rightarrow {\text{         }}{\text{         }} C = 2$

Коначно, партикуларно решење које задовољава почетни услов је 

\[\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{4} = 2\]

3. Одреди решење диференцијалне једначине тоталног диференцијала ${e^y}dx + \left( {x{e^y} – 2y} \right)dy = 0$ које задовољава почетни услов $y\left( 1 \right) = 0$.

$\underbrace {{e^y}}_Pdx + \underbrace {\left( {x{e^y} – 2y} \right)}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {{e^y}} \right)_y^, = {e^y}$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {x{e^y} – 2y} \right)_x^, = {e^y}$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} {\text{         }}{\text{         }} \Rightarrow {\text{         }}{\text{         }} \exists F\left( {x,y} \right) = C:{\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P = {e^y}{\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} /\int {} dx$

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = \int {{e^y}dx} } $

$F\left( {x,y} \right) = {e^y}x + \varphi \left( y \right){\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {{e^y}x + \varphi \left( y \right)} \right)_y^,$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = x{e^y} + \varphi ‘\left( y \right) = Q$

$x{e^y} + \varphi ‘\left( y \right) = x{e^y} – 2y$

$\varphi ‘\left( y \right) =  – 2y{\rm{   }}{\text{         }} {\text{         }} /\int {} dy$

$\int {\varphi ‘\left( y \right)} dy = \int { – 2y} dy$

$\varphi \left( y \right) =  – 2\frac{{{y^2}}}{2} + C_1$

\[F\left( {x,y} \right) = x{e^y} – {y^2} + C_1\]

\[x{e^y} – {y^2} = C\]

$1 \cdot {e^0} – {0^2} = C{\text{         }}{\text{         }} \Rightarrow{\text{         }} {\text{         }} C = 1$

\[x{e^y} – {y^2} = 1\]

4. Решити диференцијалну једначину тоталног диференцијала $\left( {2x + {e^{ – y}}} \right)dx + \left( {\cos y – x{e^{ – y}}} \right) = 0$ која задовољава почетни услов $y\left( 2 \right) = 0$.

$\underbrace {\left( {2x + {e^{ – y}}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {\cos y – x{e^{ – y}}} \right)}_Q = 0$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {2x + {e^{ – y}}} \right)_y^, =  – {e^{ – y}}$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {\cos y – x{e^{ – y}}} \right)_x^, =  – {e^{ – y}}$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} {\text{         }}{\text{         }} \Rightarrow {\text{         }}{\text{         }} \exists F\left( {x,y} \right) = C:{\text{         }}{\text{         }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 2x + {e^{ – y}}{\rm{   }}{\text{         }}{\text{         }} /\int {} dx$

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = \int {\left( {2x + {e^{ – y}}} \right)dx} } $

$F\left( {x,y} \right) = 2\frac{{{x^2}}}{2} + {e^{ – y}}x + \varphi \left( y \right){\rm{   }}{\text{         }}{\text{         }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {{x^2} + {e^{ – y}}x + \varphi \left( y \right)} \right)_y^, =  – x{e^{ – y}} + \varphi ‘\left( y \right) = Q$

$ – x{e^{ – y}} + \varphi ‘\left( y \right) = \cos y – x{e^{ – y}}$

$\varphi ‘\left( y \right) = \cos y{\rm{   }} {\text{         }}{\text{         }} /\int {} dy$

$\varphi \left( y \right) = \sin y + {C_1}$

\[F\left( {x,y} \right) = {x^2} + {e^{ – y}}x + \sin y + {C_1}\]

\[{x^2} + {e^{ – y}}x + \sin y = C\]

${2^2} + {e^{ – 0}} \cdot 2 + \sin 0 = C{\text{         }}{\text{         }} \Rightarrow{\text{         }}{\text{         }} C = 6$

\[{x^2} + {e^{ – y}}x + \sin y = 6\]

5. Решити диференцијалну једначину тоталног диференцијала $\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{{ydx – xdy}}{{{x^2}}}$.

$\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{{ydx – xdy}}{{{x^2}}}$

$\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dx + \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dy = \frac{y}{{{x^2}}}dx – \frac{x}{{{x^2}}}dy$

$\underbrace {\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{y}{{{x^2}}}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x}} \right)}_Q = 0$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{y}{{{x^2}}}} \right)_y^, = \left( {x{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^{ – \frac{1}{2}}} – y{x^{ – 2}}} \right)_y^, =$

$ {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }} =x\left( { – \frac{1}{2}} \right){\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{ – \frac{3}{2}}} \cdot 2y – {x^{ – 2}} = \frac{{ – xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{1}{{{x^2}}}$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x}} \right)_x^, = \left( {y{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^{ – \frac{1}{2}}} + {x^{ – 1}}} \right)_x^, =$

${\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }} = y\left( { – \frac{1}{2}} \right){\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{ – \frac{3}{2}}} \cdot 2x – {x^{ – 2}} = \frac{{ – xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{1}{{{x^2}}}$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} {\text{         }}{\text{         }} \Rightarrow {\text{         }}{\text{         }} \exists F\left( {x,y} \right) = C:{\text{         }}{\text{         }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{y}{{{x^2}}}{\rm{   }}{\text{         }}{\text{         }} /\int {} dx$

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dx – \int {\frac{y}{{{x^2}}}dx} } }  = $

${\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }} {\text{         }}{\text{         }}{\text{         }} {\text{         }} {\text{         }}{\text{         }}{\text{         }} {\text{         }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + {y^2} = t}\\
{2xdx = dt}\\
{xdx = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right|$

${\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} = \int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{{\sqrt t }} – y\int {{x^{ – 2}}dx} }  = \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} – y\frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} + \varphi \left( y \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \frac{y}{x} + \varphi \left( y \right)$

$F\left( {x,y} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \frac{y}{x} + \varphi \left( y \right){\rm{   }}{\text{         }}{\text{         }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \frac{y}{x} + \varphi \left( y \right)} \right)_y^, = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}2y + \frac{1}{x} + \varphi ‘\left( y \right) = Q$

$\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x} + \varphi ‘\left( y \right) = \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x}$

$\varphi ‘\left( y \right) = 0{\rm{   }} {\text{         }}{\text{         }} /\int {} dy$

$\varphi \left( y \right) = {C_1}$

\[F\left( {x,y} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \frac{y}{x} + {C_1}\]

\[\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \frac{y}{x} = C\]

6. Одреди решење диференцијалне једначине тоталног диференцијала $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)dx + \left( { – 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)ydy = 0$ које задовољава почетни услов $T\left( {0,1} \right)$.

$\underbrace {\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)}_Pdx + \underbrace {\left( { – 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)y}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = x\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}2y = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = y\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}2x = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}\exists F\left( {x,y} \right) = C:{\rm{   }}\underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} {\rm{   }}{\text{         }}{\text{         }} /\int {} dx$

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = } \int {\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)} dx$

$F\left( {x,y} \right) = \int {dx + } \int {x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } dx$

${\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + {y^2} = t}\\
{2xdx = dt}\\
{xdx = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right|$

$ {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} = x + \int {\sqrt t } dt = $

$ {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} {\text{         }}{\text{         }} = x + \frac{1}{2}\frac{{{{\sqrt t }^3}}}{{\frac{3}{2}}} + \varphi \left( y \right) $

$F\left( {x,y} \right) = x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} + \varphi \left( y \right){\rm{   }}{\text{         }}{\text{         }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \frac{1}{3}\frac{3}{2}\sqrt {{x^2} + {y^2}}  \cdot 2y + \varphi ‘\left( y \right) = Q$

$y\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \varphi ‘\left( y \right) = \left( { – 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)y$

$\varphi ‘\left( y \right) =  – y{\rm{   }}{\text{         }}{\text{         }} /\int {} dy$

$\varphi \left( y \right) =  – \frac{{{y^2}}}{2} + {C_1}$

\[F\left( {x,y} \right) = x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} – \frac{{{y^2}}}{2} + {C_1}\]

\[x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} – \frac{{{y^2}}}{2} = C\]

$0 + \frac{{{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }^3}}}{3} – \frac{{{1^2}}}{2} = C{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}C =  – \frac{1}{6}$

\[x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} – \frac{{{y^2}}}{2} =  – \frac{1}{6}\]