Хомогене диференцијалне једначине

1. Одредити опште решење диференцијалне једначине   $\left( {x – y} \right)ydx – {x^2}dy = 0$.

Потребно је најпре диференцијалну једначину свести на одговарајући облик, односно  $\frac{{dy}}{{dx}}$ заменити са $y’$. Из тог разлога делимо једначину са $dx$.

$\left( {x – y} \right)ydx = {x^2}dy{\rm{    }} {\text{      }}{\text{      }}    /:dx$

Затим делимо са $x^2$ и раздвајамо разломак да би израз са леве стране свели на облик $f\left( {\frac{y}{x}} \right)$.

$\left( {x – y} \right)y = {x^2}\frac{{dy}}{{dx}}{\rm{    }}{\text{      }}{\text{      }}    /:{x^2}$

$\frac{{xy – {y^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{dy}}{{dx}}$

$\frac{{xy}}{{{x^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = y’$

$\frac{y}{x} – {\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} = y’$

Сада можемо уврстити смену $\frac{y}{x} = t$, одакле следи   $y = t \cdot x \Rightarrow y’ = t’ \cdot x + t$

На овај начин добијамо

$t – {t^2} = t’ \cdot x + t$

односно

$ – {t^2} = t’ \cdot x$

што је диференцијална једначина која раздваја променљиве, при чему је $t$ променљива која зависи од $x$, па је $t’ = \frac{{dt}}{{dx}}$

$ – {t^2} = \frac{{dt}}{{dx}} \cdot x{\rm{    }}{\text{      }}{\text{      }}    /dx$

$ – {t^2}dx = dt \cdot x{\rm{    }}{\text{      }}{\text{      }}    /\frac{1}{{{t^2}}}\frac{1}{x}$

$\frac{{dx}}{x} =  – \frac{{dt}}{{{t^2}}}{\rm{    }} {\text{      }}{\text{      }}    /\int {} $

$\int {\frac{{dx}}{x} =  – \int {\frac{{dt}}{{{t^2}}}} } $

$\ln \left| x \right| =  – \frac{{{t^{ – 1}}}}{{ – 1}} + C$

Када вратимо смену, односно уместо $t$ упишемо $\frac{y}{x}$, добијамо опште решење диференцијалне једначине са почетка задатка.

$\ln \left| x \right| = \frac{x}{y} + C$

2. Одредити опште решење диференцијалне једначине   $y’ = \frac{{2xy}}{{{x^2} – {y^2}}}$.

Да бисмо могли да сведемо на облик хомогене диференцијалне једначине, тачније да бисмо могли раздвојити разломак са десне стране, примењујемо реципрочну вредност једнакости.

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2xy}}{{{x^2} – {y^2}}}$

$\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{{x^2} – {y^2}}}{{2xy}}$

На овај начин променили смо зависност променљивих, односно променљиву $x$ посматрамо као зависну од променљиве $y$.

$x’ = \frac{{{x^2}}}{{2xy}} – \frac{{{y^2}}}{{2xy}}$

$x’ = \frac{x}{{2y}} – \frac{y}{{2x}}$

$x’ = \frac{1}{2}\frac{x}{y} – \frac{1}{2}\frac{1}{{\frac{x}{y}}}$

У овом случају уводимо смену  $\frac{x}{y} = t$, водећи рачуна да је сада променљива  $t$  зависна од  $y$.

$\frac{x}{y} = t \Rightarrow x = t \cdot y \Rightarrow x’ = t’y + t$

$t’y + t = \frac{1}{2}t – \frac{1}{2}\frac{1}{t}$

$t’y =  – \frac{1}{2}t – \frac{1}{2}\frac{1}{t}$

Овим смо нашу диференцијалну једначину свели на диференцијалну једначину која раздваја променљиве

$\frac{{dt}}{{dy}}y = \frac{{ – {t^2} – 1}}{{2t}}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }}    /dy$

$ydt = \frac{{ – {t^2} – 1}}{{2t}}dy$

$\frac{{2t}}{{ – {t^2} – 1}}dt = \frac{1}{y}dy{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }}    /\int {} $

$ – \int {\frac{{2t}}{{{t^2} + 1}}dt}  = \int {\frac{1}{y}dy} $

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t^2} + 1 = s}\\
{2tdt = ds}
\end{array}} \right|$

$ – \int {\frac{{ds}}{s}}  = \int {\frac{1}{y}dy} $

$ – \ln \left| s \right| = \ln \left| y \right| + \ln C$

$\ln {\left| s \right|^{ – 1}} = \ln \left| y \right|C$

$\frac{1}{{\left| s \right|}} = \left| y \right|C$

$\frac{1}{{\left| {{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 1} \right|}} = \left| y \right|C$

$\frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} = \left| y \right|C$

3. Одредити опште решење диференцијалне једначине   $xy’ – y = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $.

$xy’ = y + \sqrt {{x^2} + {y^2}}{\text{      }}{\text{      }}    /:x$

$y’ = \frac{y}{x} + \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{x}$

$y’ = \frac{y}{x} + \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2}}}} $

$y’ = \frac{y}{x} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}} $

$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = t \cdot x \Rightarrow y’ = t’x + t$

$t’x + t = t + \sqrt {1 + {t^2}} $

$\frac{{dt}}{{dx}}x = \sqrt {1 + {t^2}} $

$\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} = \frac{{dx}}{x}{\text{      }} {\text{      }}{\text{      }}        /\int {} $

$\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}}  = \int {\frac{{dx}}{x}} $

$\ln \left| {t + \sqrt {1 + {t^2}} } \right| = \ln \left| x \right| + \ln C$

$\ln \left| {\frac{y}{x} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}} } \right| = \ln \left| x \right|C$

$\left| \frac{{y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{x} \right| = \left| x \right|C$

4. Одредити опште решење диференцијалне једначине   $xy’ = x{e^{\frac{y}{x}}} + y$.

$xy’ = x{e^{\frac{y}{x}}} + y{\text{      }}{\text{      }}        {\rm{   /}}:x$

$y’ = \frac{{x{e^{\frac{y}{x}}}}}{x} + \frac{y}{x}$

$y’ = {e^{\frac{y}{x}}} + \frac{y}{x}$

$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = t \cdot x \Rightarrow y’ = t’x + t$

$t’x + t = {e^t} + t$

$\frac{{dt}}{{dx}}x = {e^t}$

$\frac{{dt}}{{{e^t}}} = \frac{{dx}}{x} {\text{      }}{\text{      }}        /\int {} $

$\int {{e^{ – t}}dt}  = \int {\frac{{dx}}{x}} $

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – t = s}\\
{ – dt = ds}
\end{array}} \right|$

$ – \int {{e^s}ds}  = \int {\frac{{dx}}{x}} $

$ – {e^s} = \ln \left| x \right| + \ln C$

${e^{ – t}} =  – \ln \left| x \right|C$

${e^{ – \frac{y}{x}}} = \ln {\left( {\left| x \right|C} \right)^{ – 1}}$

${e^{ – \frac{y}{x}}} = \ln \frac{1}{{\left| x \right|C}}$

5. Одредити опште решење диференцијалне једначине  $\left( {{x^2} – {y^2}} \right)dy = xydx$.

Ако бисмо ову једначину покушали свести на облик  $y’ = f\left( {\frac{y}{x}} \right)$  имали би проблем да раздвојимо разломак, из тог разлога једначину преводимо на облик $x’ = f\left( {\frac{x}{y}} \right)$  који једноставно решавамо.

$\left( {{x^2} – {y^2}} \right)dy = xydx{\text{      }}{\text{      }}        /\frac{1}{{dy}}$

$\frac{{{x^2} – {y^2}}}{{xy}} = \frac{{dx}}{{dy}}$

$\frac{{{x^2}}}{{xy}} – \frac{{{y^2}}}{{xy}} = \frac{{dx}}{{dy}}$

$\frac{x}{y} – \frac{y}{x} = x’$

$\frac{x}{y} = t \Rightarrow x = t \cdot y \Rightarrow x’ = t’y + t$

$t – \frac{1}{t} = t’y + t$

$ – \frac{1}{t} = \frac{{dt}}{{dy}}y$

$ – \frac{{dy}}{y} = tdt{\rm{   } {\text{      }}{\text{      }}    } /\int {} $

$ – \ln\left| y\right| + \ln C = \frac{{{t^2}}}{2}$

$\ln \frac{C}{\left|y\right|} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2}}}{2}$

${x^2} = 2{y^2}\ln \frac{C}{\left|y\right| }$

6. Одредити опште решење диференцијалне једначине  $1 + {e^{\frac{x}{y}}} + {e^{\frac{x}{y}}}\left( {1 – \frac{x}{y}} \right)y’ = 0$.

${e^{\frac{x}{y}}}\left( {1 – \frac{x}{y}} \right)y’ =  – 1 – {e^{\frac{x}{y}}}$

$y’ =  – \frac{{1 + {e^{\frac{x}{y}}}}}{{{e^{\frac{x}{y}}}\left( {1 – \frac{x}{y}} \right)}}$

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{1 + {e^{\frac{x}{y}}}}}{{{e^{\frac{x}{y}}}\left( {\frac{x}{y} – 1} \right)}}$

$\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{{e^{\frac{x}{y}}}\left( {\frac{x}{y} – 1} \right)}}{{1 + {e^{\frac{x}{y}}}}}$

$x’ = \frac{{{e^{\frac{x}{y}}}\left( {\frac{x}{y} – 1} \right)}}{{1 + {e^{\frac{x}{y}}}}}$

$\frac{x}{y} = t \Rightarrow x = ty \Rightarrow x’ = t’y + t$

$t’y + t = \frac{{{e^t}\left( {t – 1} \right)}}{{1 + {e^t}}}$

$\frac{{dt}}{{dy}}y =  – t + \frac{{{e^t}\left( {t – 1} \right)}}{{1 + {e^t}}}$

$\frac{{dt}}{{dy}}y = \frac{{ – t – t{e^t} + {e^t}t – {e^t}}}{{1 + {e^t}}}$

$\frac{{dt}}{{dy}}y =  – \frac{{t + {e^t}}}{{1 + {e^t}}}$

$ – \frac{{\left( {1 + {e^t}} \right)dt}}{{t + {e^t}}} = \frac{{dy}}{y} {\text{      }}{\text{      }} {\rm{   /}}     \int {} $

$ – \int {\frac{{\left( {1 + {e^t}} \right)dt}}{{t + {e^t}}} = \int {\frac{{dy}}{y}} } $

$\left| \begin{array}{l}
t + {e^t} = s\\
\left( {1 + {e^t}} \right)dt = ds
\end{array} \right|$

$ – \int {\frac{{ds}}{s} = \int {\frac{{dy}}{y}} } $

$ – \ln \left|s\right| = \ln\left| y\right| + \ln C$

$\ln\left| s \right| =  – \ln\left| y\right| C$

$\ln\left| s\right| = \ln {\left( {\left|y\right| C} \right)^{ – 1}}$

$\left|s \right| = \frac{1}{{\left|y\right| C}}$

$\left|t + {e^t}\right| = \frac{1}{{\left|y\right| C}}$

$\left|\frac{x}{y} + {e^{\frac{x}{y}}} \right| = \frac{1}{{\left|y\right| C}}$

7. Одредити опште решење диференцијалне једначине  $xy’ – y = \left( {x + y} \right)\ln \frac{{x + y}}{x}$.

$xy’ = y + \left( {x + y} \right)\ln \left( {1 + \frac{y}{x}} \right){\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }}   /:x$

$y’ = \frac{y}{x} + \frac{{x + y}}{x}\ln \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)$

$y’ = \frac{y}{x} + \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)\ln \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)$

$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = tx \Rightarrow y’ = t’x + t$

$t’x + t = t + \left( {1 + t} \right)\ln \left( {1 + t} \right)$

$\frac{{dt}}{{dx}}x = \left( {1 + t} \right)\ln \left( {1 + t} \right)$

$\frac{{dt}}{{\left( {1 + t} \right)\ln \left( {1 + t} \right)}} = \frac{{dx}}{x}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }}   /\int {} $

$\int {\frac{{dt}}{{\left( {1 + t} \right)\ln \left( {1 + t} \right)}} = \int {\frac{{dx}}{x}} } $

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\ln \left( {1 + t} \right) = s}\\
{\frac{1}{{1 + t}}dt = ds}
\end{array}} \right|$

$\int {\frac{{ds}}{s} = \int {\frac{{dx}}{x}} } $

$\ln s = \ln x + \ln C$

$s = xC$

$\ln \left( {1 + t} \right) = xC$

$\ln \left( {1 + \frac{y}{x}} \right) = xC$

$1 + \frac{y}{x} = {e^{xC}}$

$y = x{e^{xC}} – x$

8. Одредити опште решење диференцијалне једначине  $y’ = \frac{{{x^3} + 2{x^2}y – {y^3}}}{{{x^3} + {x^2}y}}$.

Извлачимо испред заграде $x^3$ и у бројиоцу и у имениоцу, да би диференцијалну једначину свели на одговарајући облик $y’ = f\left( {\frac{y}{x}} \right)$

$y’ = \frac{{{x^3}\left( {1 + 2\frac{y}{x} – \frac{{{y^3}}}{{{x^3}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)}}$

$y’ = \frac{{1 + 2\frac{y}{x} – {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^3}}}{{1 + \frac{y}{x}}}$

$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = tx \Rightarrow y’ = t’x + t$

$t’x + t = \frac{{1 + 2t – {t^3}}}{{1 + t}}$

$t’x = \frac{{1 + 2t – {t^3}}}{{1 + t}} – t$

$t’x = \frac{{1 + 2t – {t^3} – t – {t^2}}}{{1 + t}}$

$\frac{{dt}}{{dx}}x = \frac{{1 + t – {t^3} – {t^2}}}{{1 + t}}$

$\frac{{\left( {t + 1} \right)dt}}{{1 + t – {t^3} – {t^2}}} = \frac{{dx}}{x}$

$\frac{{\left( {t + 1} \right)dt}}{{1 + t – {t^2}\left( {1 + t} \right)}} = \frac{{dx}}{x}$

$\frac{{\left( {t + 1} \right)dt}}{{\left( {1 + t} \right)\left( {1 – {t^2}} \right)}} = \frac{{dx}}{x}{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }}     /\int {} $

$\int {\frac{{dt}}{{1 – {t^2}}}}  = \int {\frac{{dx}}{x}} $

$ – \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right| = \ln \left| x \right| + \ln C/ \cdot \left( { – 2} \right)$

$\ln \left| {\frac{{t – 1}}{{t + 1}}} \right| =  – 2\ln \left| x \right|C$

$\ln \left| {\frac{{\frac{y}{x} – 1}}{{\frac{y}{x} + 1}}} \right| = \ln \frac{1}{{{{\left( {\left| x \right|C} \right)}^2}}}$

$\frac{{y – x}}{{y + x}} = \frac{1}{{{x^2}{C_1}}}$

9. Одредити опште решење диференцијалне једначине  $y’ = \frac{{2x – y}}{{3y + x}}$

$y’ = \frac{{x\left( {2 – \frac{y}{x}} \right)}}{{x\left( {3\frac{y}{x} + 1} \right)}}$

$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = tx \Rightarrow y’ = t’x + t$

$t’x + t = \frac{{2 – t}}{{3t + 1}}$

$t’x = \frac{{2 – t}}{{3t + 1}} – t$

$t’x = \frac{{2 – t – 3{t^2} – t}}{{3t + 1}}$

$\frac{{dt}}{{dx}}x = \frac{{2 – 2t – 3{t^2}}}{{3t + 1}}$

$\frac{{\left( {3t + 1} \right)dt}}{{2 – 2t – 3{t^2}}} = \frac{{dx}}{x}{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }}     /\int {} $

$\int {\frac{{\left( {3t + 1} \right)dt}}{{2 – 2t – 3{t^2}}} = \int {\frac{{dx}}{x}} } $

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 – 2t – 3{t^2} = s}\\
{\left( { – 2 – 6t} \right)dt = ds}\\
{\left( {3t + 1} \right)dt = \frac{{ds}}{{ – 2}}}
\end{array}} \right|$

$\int {\frac{{\frac{{ds}}{{ – 2}}}}{s} = \int {\frac{{dx}}{x}} } $

$ – \frac{1}{2}\ln \left| s \right| = \ln \left| x \right| + \ln C$

$\ln \left| s \right| =  – 2\ln \left| x \right|C$

$\left|s\right| = {\left( {\left| x \right|C} \right)^{ – 2}}$

$\left|2 – 2t – 3{t^2} \right|= \frac{1}{{{{\left( {xC} \right)}^2}}}$

$\left|2 – 2\frac{y}{x} – 3{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2}\right| = \frac{1}{{{{\left( {xC} \right)}^2}}}$

10. Показати да се диференцијална једначина  $2{x^4}yy’ + {y^4} = 4{x^6}$  сменом  $y = {z^m}$  своди на хомогену диференцијалну једначину и наћи њено опште решење.

Уводимо смену  $y = {z^m} \Rightarrow y’ = m{z^{m – 1}}z’$  у нашу диференцијалну једначину и покушавамо је свести на облик хомогене диференцијалне једначине.

$2{x^4}{z^m}m{z^{m – 1}}z’ + {\left( {{z^m}} \right)^4} = 4{x^6}$

$2m{x^4}{z^{2m – 1}}z’ = 4{x^6} – {z^{4m}}{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }}     /:2m{x^4}{z^{2m – 1}}$

$z’ = \frac{{4{x^6}}}{{2m{x^4}{z^{2m – 1}}}} – \frac{{{z^{4m}}}}{{2m{x^4}{z^{2m – 1}}}}$

$z’ = \frac{2}{m}\frac{{{x^2}}}{{{z^{2m – 1}}}} – \frac{1}{{2m}}\frac{{{z^{2m + 1}}}}{{{x^4}}}$

Да би ово била хомогена диференцијална једначина потребно је да  $2m – 1 = 2{\rm{   }} \wedge {\rm{   }}2m + 1 = 4$  што је у оба случаја могуће ако је  $m = \frac{3}{2}$.

Уврштавајући  $m = \frac{3}{2}$  наша диференцијална једначина добија облик

$z’ = \frac{4}{3}\frac{{{x^2}}}{{{z^2}}} – \frac{1}{3}\frac{{{z^4}}}{{{x^4}}}$

коју решавамо као хомогену диференцијалну једначину, уводећи смену

$\frac{z}{x} = t \Rightarrow z = tx \Rightarrow z’ = t’x + t$

$t’x + t = \frac{4}{3}\frac{1}{{{t^2}}} – \frac{1}{3}{t^4}$

$\frac{{dt}}{{dx}}x = \frac{{4 – {t^6} – 3{t^3}}}{{3{t^2}}}$

$\frac{{3{t^2}dt}}{{4 – {t^6} – 3{t^3}}} = \frac{{dx}}{x}{\rm{   }}/\int {} $

$\int {\frac{{3{t^2}dt}}{{4 – {t^6} – 3{t^3}}}}  = \int {\frac{{dx}}{x}} $

Интеграл леве стране решавамо као интеграл рационалне функције

$\int {\frac{{3{t^2}dt}}{{4 – {t^6} – 3{t^3}}}}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t^3} = s}\\
{3{t^2}dt = ds}
\end{array}} \right| = \int {\frac{{ds}}{{4 – {s^2} – 3s}}}  = $

$\left( \begin{array}{l}
\frac{1}{{ – {s^2} – 3s + 4}} = \frac{1}{{\left( {s – 4} \right)\left( {1 – s} \right)}} = \frac{A}{{s – 4}} + \frac{B}{{1 – s}} = \\
 = \frac{{A\left( {1 – s} \right) + B\left( {s – 4} \right)}}{{\left( {s – 4} \right)\left( {1 – s} \right)}} = \frac{{s\left( {B – A} \right) + \left( {A – 4B} \right)}}{{\left( {s – 4} \right)\left( {1 – s} \right)}}\\
\left\{ \begin{array}{l}
B – A = 0\\
A – 4B = 1
\end{array} \right\} \Rightarrow A = B =  – \frac{1}{3}
\end{array} \right)$

$ = \int {\frac{{ – \frac{1}{3}}}{{s + 4}}} ds + \int {\frac{{ – \frac{1}{3}}}{{1 – s}}} ds =  – \frac{1}{3}\ln \left| {s + 4} \right| – \frac{1}{3}\ln \left| {1 – s} \right| – \frac{1}{3}{\mathop{\rm lnC}\nolimits}  = $

$ =  – \frac{1}{3}\ln \left| {\left( {s + 4} \right)\left( {1 – s} \right)} \right|C$

док је интеграл десне стране, таблични интеграл

$\int {\frac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right|C$

Тако добијамо

$ – \frac{1}{3}\ln \left| {\left( {s + 4} \right)\left( {1 – s} \right)} \right| = \ln \left| x \right|C$

$\ln \left| { – {s^2} – 3s + 4} \right| =  – 3\ln \left| x \right|C$

$\left| { – {t^6} – 3{t^3} + 4} \right| = {\left( {\left| x \right|C} \right)^{ – 3}}$

$\left| { – {{\left( {\frac{z}{x}} \right)}^6} – 3{{\left( {\frac{z}{x}} \right)}^3} + 4} \right| = \frac{1}{{{{\left( {\left| x \right|C} \right)}^3}}}$

$y = {z^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow z = {y^{\frac{2}{3}}}$

$\left| { – \frac{{{y^4}}}{{{x^6}}} – 3\frac{{{y^2}}}{{{x^3}}} + 4} \right| = \frac{1}{{{{\left( {\left| x \right|C} \right)}^3}}}$