Углови четвороугла

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Да ли постоји конвексан четвороугао чије су мере унутрашњих углова:

а) ${113^ \circ }, {76^ \circ }, {81^ \circ }$ и ${90^ \circ }$

б) ${161^ \circ }29',{72^ \circ }43',{66^ \circ }37'$ и ${59^ \circ }11'$

Пр.2) Израчунати престале унутрашње и спољашње углове конвексног

четвороугла ако је:

а) $\alpha = {106^ \circ },\beta = {72^ \circ }$ и $\gamma = {83^ \circ }$

б) $\beta = {91^ \circ },{\gamma _1} = {78^ \circ }$ и ${\delta _1} = {113^ \circ }$

Пр.3) Ако су углови конвексног четророугла $\alpha $, $\alpha + {20^ \circ },2\alpha - {30^ \circ }$ и

$\alpha + {40^ \circ }$, израчунати све спољашње и унутрашње углове тог четвороугла.

Пр.4) На основу података са слике, одредите све унутрашње углове четвороугла $ABCD$.

Пр.1) Да ли постоји конвексан четвороугао чије су мере унутрашњих углова:

Збир унутрашњих углова конвексног четвороугла је ${360^ \circ }$.

а)  Имамо $\alpha  = {113^ \circ },\beta  = {76^ \circ },\gamma  = {81^ \circ },\delta  = {90^ \circ }$

Зa конвексан четвороугао важи:

\[\alpha  + \beta  + \gamma  + \delta  = {360^ \circ }\]

Проверимо

\[{113^ \circ } + {76^ \circ } + {81^ \circ } + {90^ \circ } = {360^ \circ }\]

Постоји конвексан четвороугао.

б) $\alpha  = {161^ \circ }29',\beta  = {72^ \circ }43',\gamma  = {66^ \circ }37',\delta  = {59^ \circ }11'$

Постоји конвексан четвороугао.

Пр.2) Израчунати престале унутрашње и спољашње углове конвексног

четвороугла ако је:

а) $\alpha = {106^ \circ },\beta = {72^ \circ }$ и $\gamma = {83^ \circ }$

$\delta ,{\alpha _1},{\beta _1},{\gamma _1},{\delta _1} = ?$

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \hfill \\
{106^ \circ } + {72^ \circ } + {83^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \hfill \\
{261^ \circ } + \delta = {360^ \circ } \hfill \\
\delta = {360^ \circ } - {261^ \circ } \hfill \\
\underline {\delta = {{99}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \hfill \\
{\alpha _1} = {180^ \circ } - {106^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = {74^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\beta _1} = {180^ \circ } - \beta \hfill \\
{\beta _1} = {180^ \circ } - {72^ \circ } \hfill \\
{\beta _1} = {108^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\gamma _1} = {180^ \circ } - \gamma \hfill \\
{\gamma _1} = {180^ \circ } - {83^ \circ } \hfill \\
{\gamma _1} = {97^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\delta _1} = {180^ \circ } - \delta \hfill \\
{\delta _1} = {180^ \circ } - {99^ \circ } \hfill \\
{\delta _1} = {81^ \circ } \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

б) $\beta  = {91^\circ },{\gamma _1} = {78^\circ },{\delta _1} = {113^\circ }$

$\alpha ,{\alpha _1},{\beta _1},\gamma ,\delta  = ?$

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\gamma = {180^ \circ } - {\gamma _1} \hfill \\
\gamma = {180^ \circ } - {78^ \circ } \hfill \\
\underline {\gamma = {{102}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
\delta = {180^ \circ } - {\delta _1} \hfill \\
\delta = {180^ \circ } - {113^ \circ } \hfill \\
\underline {\delta = {{67}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

\[\begin{gathered}
\alpha + \beta + \gamma + \delta = {360^ \circ } \hfill \\
\alpha + {91^ \circ } + {102^ \circ } + {67^ \circ } = {360^ \circ } \hfill \\
\alpha + {260^ \circ } = {360^ \circ } \hfill \\
\alpha = {360^ \circ } - {260^ \circ } \hfill \\
\underline {\alpha = {{100}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \hfill \\
{\alpha _1} = {180^ \circ } - {100^ \circ } \hfill \\
\underline {{\alpha _1} = {{80}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\beta _1} = {180^ \circ } - \beta \hfill \\
{\beta _1} = {180^ \circ } - {91^ \circ } \hfill \\
\underline {{\beta _1} = {{89}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

Пр.3) Ако су углови конвексног четророугла $\alpha $, $\alpha + {20^ \circ },2\alpha - {30^ \circ }$ и

$\alpha + {40^ \circ }$, израчунати све спољашње и унутрашње углове тог четвороугла.

$\beta  = \alpha  + {20^ \circ },\gamma  = 2\alpha  - {30^ \circ },\delta  = \alpha  + {40^ \circ }$

$\alpha  + \beta  + \gamma  + \delta  = {360^ \circ }$

$\alpha  + \alpha  + {20^ \circ } + 2\alpha  - {30^ \circ } + \alpha  + {40^ \circ } = {360^ \circ }$

$5\alpha  + {30^ \circ } = {360^ \circ }$

$5\alpha  = {330^ \circ }$

$\underline {\alpha  = {{66}^ \circ }} $

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
\beta = \alpha + {20^ \circ } \hfill \\
\beta = {66^ \circ } + {20^ \circ } \hfill \\
\beta = {86^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
\gamma = 2\alpha - {30^ \circ } \hfill \\
\gamma = 2 \cdot {66^ \circ } - {30^ \circ } \hfill \\
\gamma = {132^ \circ } - {30^ \circ } \hfill \\
\gamma = {102^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
\delta = \alpha + {40^ \circ } \hfill \\
\delta = {66^ \circ } + {40^ \circ } \hfill \\
\delta = {106^ \circ } \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{\alpha _1} = {180^ \circ } - \alpha \hfill \\
{\alpha _1} = {180^ \circ } - {66^ \circ } \hfill \\
\underline {{\alpha _1} = {{114}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\beta _1} = {180^ \circ } - \beta \hfill \\
{\beta _1} = {180^ \circ } - {86^ \circ } \hfill \\
\underline {{\beta _1} = {{94}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\gamma _1} = {180^ \circ } - \gamma \hfill \\
{\gamma _1} = {180^ \circ } - {102^ \circ } \hfill \\
\underline {{\gamma _1} = {{78}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
{\delta _1} = {180^ \circ } - \delta \hfill \\
{\delta _1} = {180^ \circ } - {106^ \circ } \hfill \\
\underline {{\delta _1} = {{74}^ \circ }} \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

Пр.4) На основу података са слике, одредите све унутрашње углове четвороугла $ABCD$.

$AB=AD$, $CB=CD$

Троугао  $\vartriangle BDA$ је једнакокраки. Онда: 

$x + x + {47^ \circ } = {180^ \circ }$

$2x + {47^ \circ } = {180^ \circ }$

$2x = {180^ \circ } - {47^ \circ }$

$2x = {133^ \circ }$

$x = {133^ \circ }:2$

$x = {132^ \circ }60':2$

$x = {66^ \circ }30'$

Троугао  $\vartriangle BCD$ је једнакокраки. Онда: 

${72^ \circ } + {72^ \circ } + \gamma = {180^ \circ }$
${144^ \circ } + \gamma = {180^ \circ } $
$\gamma = {180^ \circ } - {144^ \circ } $
$\underline {\gamma = {{36}^ \circ }} $

$\beta  = \delta  = {72^ \circ } + x$
$\beta  = \delta  = {72^ \circ } + {66^ \circ }30'$
$\underline {\beta  = \delta  = {{138}^ \circ }30'} $