Многоугао – понављање радива

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати укупан број дијагонала, збир унутрашњих углова

           и број дијагонала из једног темена у конвексном седмоуглу.

Пр.2)   Ако је збир унутрашњих углова неког многоугла ${1980^ \circ }$,

           одреди који је то многоугао?

Пр3)    Ако се из једног темена правилног многоугла може повући

           7 дијагонала, одреди централни унутрашњи и спољањи

            угао тог многоугла.

Пр.4)   Централни угао правилног многоугла је ${40^ \circ }$. Одреди:

           а) који је то многоугао,

           б) унутрашњи угао тог многоугла,

           в) збир унутрашњих углова многоугла,

           г) укупан број дијагонала,

           д) број дијагонала из једног темена.

Пр.5)   Спољашњи угао правилног многоугла износи $\frac{1}{4}$

            унутрашњег угла. Који је то многоугао и колико укупно има

            дијагонала?

Пр.6)   У конвексном  многоуглу има 90 дијагонала. Који је то

           многоугао?

Пр.1)   

\[\begin{gathered}
\underline {n = 17} \hfill \\
{D_n},{S_n},{d_n} = ? \hfill \\
\hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_{17}} = \frac{{17\left( {17 - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_{17}} = \frac{{17 \cdot 14}}{2} = 119 \hfill \\
{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_{17}} = \left( {17 - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_{17}} = 15 \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{S_{17}} = {2700^ \circ } \hfill \\
{d_n} = n - 3 \hfill \\
{d_{17}} = 17 - 3 = 14 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   

\[\begin{gathered}
\underline {{S_n} = {{1980}^ \circ }} \hfill \\
n = ? \hfill \\
\hfill \\
{S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
{1980^ \circ } = \left( {n - 2} \right) \cdot {180^ \circ } \hfill \\
n - 2 = \frac{{{{1980}^ \circ }}}{{{{180}^ \circ }}} \hfill \\
n - 2 = 11 \hfill \\
n = 11 + 2 = 13 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр3)    

\[\begin{gathered}
\underline {{d_n} = 7} \hfill \\
\varphi ,\alpha ,{\alpha _1} = ? \hfill \\
\hfill \\
{d_n} = n - 3 \hfill \\
7 = n - 3 \hfill \\
n = 7 + 3 = 10 \hfill \\
\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
\varphi = {36^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \varphi = {36^ \circ } \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + {36^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {36^ \circ } \hfill \\
\alpha = {144^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   

\[\begin{gathered}
\underline {\varphi = 7} \hfill \\
n,\alpha ,{S_n},{D_n},{d_n} = ? \hfill \\
\hfill \\
\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
{40^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
n = {\frac{{360}}{{{{40}^ \circ }}}^ \circ } = 9 \hfill \\
{\alpha _1} = \varphi = {40^ \circ } \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + {40^ \circ } = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ } - {40^ \circ } \hfill \\
\alpha = {140^ \circ } \hfill \\
{S_n} = n \cdot \alpha \hfill \\
{S_n} = 9 \cdot {140^ \circ } \hfill \\
{S_n} = {1260^ \circ } \hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_9} = \frac{{9\left( {9 - 3} \right)}}{2} = 27 \hfill \\
{d_n} = n - 3 \hfill \\
{d_9} = 9 - 3 = 6 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5)   

\[\begin{gathered}
\underline {{\alpha _1} = \frac{1}{4}\alpha } \hfill \\
n,{D_n} = ? \hfill \\
\alpha + {\alpha _1} = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha + \frac{1}{4}\alpha = {180^ \circ } \hfill \\
\frac{5}{4}\alpha = {180^ \circ } \hfill \\
\alpha = {180^ \circ }:\frac{5}{4} \hfill \\
\alpha = {144^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \frac{1}{4}\alpha = \frac{1}{4} \cdot {144^ \circ } = {36^ \circ } \hfill \\
{\alpha _1} = \varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
{36^ \circ } = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} \hfill \\
n = 10 \hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
{D_n} = \frac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} = 35 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.6)   

\[\begin{gathered}
\underline {{D_n} = 90} \hfill \\
n = ? \hfill \\
{D_n} = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
90 = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 180 \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = \underline {2 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \underline{\underline {3 \cdot 5}} \hfill \\
n\left( {n - 3} \right) = 15 \cdot 12 \hfill \\
n = 15 \hfill \\
\end{gathered} \]