Површина и запремина призме

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Израчунати површину и запремину коцке чија је ивица 7cm.

Пр.2)   Израчунати површину и запремину правилне четворостране

           призме чија је површина основе 36$c{m^2}$, а дијагонала

           бочне стране је 10cm.

Пр.3)   Дијагонала правилне четворостране призме је 15cm, а дијагонала

           основе је 12cm. Израчунати површину и запремину те призме.

Пр.4)   Израчунати површину и запремину правилен тростране призме

           чија је висина 12cm, а површина круга уписаног у основу $6\pi c{m^2}$.

Пр.5)   Дужа просторна дијагонала правилне шестостране призме је 20cm

            и нагнута је према равни основе под углом од ${60^ \circ }$.

            Израчунати површину и запремину те призме.

Пр.1)   

\[\begin{gathered}
\underline {a = 7cm} \hfill \\
P,V = ? \hfill \\
\hfill \\
\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
P = 6{a^2} \hfill \\
P = 6 \cdot {7^2} \hfill \\
P = 6 \cdot 49 \hfill \\
P = 294c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
V = {a^3} \hfill \\
V = {7^3} \hfill \\
V = 343c{m^3} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)  

\[\begin{gathered}
B = 36c{m^2} \hfill \\
\underline {d = 10cm} \hfill \\
P,V = ? \hfill \\
\hfill \\
B = {a^2} \hfill \\
36 = {a^2} \hfill \\
a = 6cm \hfill \\
\hfill \\
{d^2} = {H^2} + {a^2} \hfill \\
{10^2} = {H^2} + {6^2} \hfill \\
100 = {H^2} + 36 \hfill \\
{H^2} = 64 \hfill \\
H = 8cm \hfill \\
\hfill \\
V = B \cdot H \hfill \\
V = 36 \cdot 8 \hfill \\
V = 288c{m^3} \hfill \\
\hfill \\
M = 4aH \hfill \\
M = 4 \cdot 6 \cdot 8 \hfill \\
M = 192c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
P = 2B + M \hfill \\
P = 2 \cdot 36 + 192 \hfill \\
P = 264c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)  

\[\begin{gathered}
D = 15cm \hfill \\
\underline {d = 12cm} \hfill \\
P,V = ? \hfill \\
\hfill \\
{D^2} = {d^2} + {H^2} \hfill \\
{15^2} = {12^2} + {H^2} \hfill \\
225 = 144 + {H^2} \hfill \\
{H^2} = 225 - 144 \hfill \\
{H^2} = 81 \hfill \\
H = 9cm \hfill \\
\hfill \\
d = a\sqrt 2 \hfill \\
12 = a\sqrt 2 \hfill \\
a = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{12\sqrt 2 }}{2} = 6\sqrt 2 cm \hfill \\
B = {a^2} \hfill \\
B = {\left( {6\sqrt 2 } \right)^2} \hfill \\
B = 72c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
M = 4aH \hfill \\
M = 4 \cdot 6\sqrt 2 \cdot 9 \hfill \\
M = 216\sqrt 2 c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
P = 2B + M \hfill \\
P = 2 \cdot 72 + 216\sqrt 2 \hfill \\
P = 264c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
V = B \cdot H \hfill \\
V = 72 \cdot 9 \hfill \\
V = 648c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   

\[\begin{gathered}
{P_{uk}} = 16\pi c{m^2} \hfill \\
\underline {H = 12cm} \hfill \\
P,V = ? \hfill \\
\hfill \\
{P_{uk}} = {r_u}^2\pi \hfill \\
16\pi = {r_u}^2\pi \hfill \\
{r_u}^2 = 16 \hfill \\
{r_u} = 4cm \hfill \\
\hfill \\
{r_u} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \hfill \\
4 = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \hfill \\
a\sqrt 3 = 24 \hfill \\
a = 8\sqrt 3 cm \hfill \\
\hfill \\
B = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
B = \frac{{{{\left( {8\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
B = 48\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
M = 3aH \hfill \\
M = 3 \cdot 8\sqrt 3 \cdot 12 \hfill \\
M = 288\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
P = 2B + M \hfill \\
P = 2 \cdot 48\sqrt 3 + 288\sqrt 3 \hfill \\
P = 384\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
V = B \cdot H \hfill \\
V = 48\sqrt 3 \cdot 12 \hfill \\
V = 576\sqrt 3 c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5)   

\[\begin{gathered}
D = 20cm \hfill \\
\underline {\alpha = {{60}^ \circ }} \hfill \\
P,V = ? \hfill \\
\hfill \\
D = 2{d_v} = 2 \cdot 2a \hfill \\
20 = 4a \hfill \\
a = 5cm \hfill \\
H = \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
H = \frac{{20\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
H = 10\sqrt 3 cm \hfill \\
\hfill \\
B = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
B = 6 \cdot \frac{{{5^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
B = 6 \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
B = \frac{{75\sqrt 3 }}{2}c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
M = 6aH \hfill \\
M = 6 \cdot 5 \cdot 10\sqrt 3 \hfill \\
M = 300\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
P = 2B + M \hfill \\
P = 2 \cdot \frac{{75\sqrt 3 }}{2} + 300\sqrt 3 \hfill \\
P = 75\sqrt 3 + 300\sqrt 3 \hfill \\
P = 375\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
V = B \cdot H \hfill \\
V = \frac{{75\sqrt 3 }}{2} \cdot 10\sqrt 3 \hfill \\
V = 375 \cdot 3 \hfill \\
V = 1125c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]