Сличност троуглова

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Странице троугла су $a = 6cm,b = 9cm$ и $c = 12cm$. Одредити странице њему сличног троугла ако је коефицијент сличности $k = 1,5$.

Пр.2)   Странице троугла су $a = 12cm,b = 15cm$ и $c = 18cm$. Одредити странице њему сличног троугла чији је обим 60cm.

Пр.3)   Хипотенуза правоуглог троугла је 15cm, а једна катета је 12cm. Одредити обим и површину њему сличног троугла чија је најкраћа страница 6cm.

Пр.4) Основице трапеза су $a = 18cm,b = 16cm$, а висина је $h = 12cm$. Одредити висину већег троугла коjи се добиjа продужавањем кракова тог трапеза.

Пр.1) Знамо да су ова два троугла слични, онда

\[\frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} = k\]

\[\begin{gathered}
  \frac{a}{{{a_1}}} = k \hfill \\
  \frac{6}{{{a_1}}} = 1,5 \hfill \\
  {a_1} = \frac{6}{{1,5}} \hfill \\
  {a_1} = 4cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  \frac{b}{{{b_1}}} = k \hfill \\
  \frac{9}{{{b_1}}} = 1,5 \hfill \\
  {b_1} = \frac{9}{{1,5}} \hfill \\
  {b_1} = 6cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  \frac{c}{{{c_1}}} = k \hfill \\
  \frac{{12}}{{{c_1}}} = 1,5 \hfill \\
  {c_1} = \frac{{12}}{{1,5}} \hfill \\
  {c_1} = 8cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   Тражимо странице ${a_1},{b_1},{c_1}$ сличног троугла чији је обим ${O_1} = 60cm$. Да би ми могли искористити jеднакост

\[\frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} = \frac{O}{{{O_1}}} = k\]

потребно израчунати обим $O$.

\[O = a + b + c = 12 + 15 + 18 = 45cm\]

\[\begin{gathered}
  a:{a_1} = O:{O_1} \hfill \\
  12:{a_1} = 45:60 \hfill \\
  45{a_1} = 12 \cdot 60 \hfill \\
  {a_1} = \frac{{12 \cdot 60}}{{45}} \hfill \\
  {a_1} = 16cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  b:{b_1} = O:{O_1} \hfill \\
  15:{b_1} = 45:60 \hfill \\
  45{b_1} = 15 \cdot 60 \hfill \\
  {b_1} = \frac{{15 \cdot 60}}{{45}} \hfill \\
  {b_1} = 20cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  {O_1} = {a_1} + {b_1} + {c_1} \hfill \\
  60 = 16 + 20 + {c_1} \hfill \\
  {c_1} = 60 - 36 \hfill \\
  {c_1} = 24cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.3)  Означимо хипотенузу правоуглог троугла са $c = 15cm$, а једну катету са $a = 12cm$. Потребно одредити обим и површину њему сличног троугла чија је најкраћа страница 6cm.

Израчунаћемо катету $b$

\[\begin{gathered}
  {b^2} = {c^2} - {a^2} \hfill \\
  b = \sqrt {{c^2} - {a^2}}  \hfill \\
  b = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}}  \hfill \\
  b = \sqrt {225 - 144}  \hfill \\
  b = 9cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Најкраћа страница овог троугла jе страница $b$. Онда одговараjућа страница њему сличног троугла је страница $b_1 = 6cm$. Одредимо другу катету $a_1$ и хипотенузу $h_1$ сличног троугла.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  \begin{gathered}
  a:{a_1} = b:{b_1} \hfill \\
  12:{a_1} = 9:6 \hfill \\
  9{a_1} = 12 \cdot 6 \hfill \\
  {a_1} = \frac{{12 \cdot 6}}{9} \hfill \\
  {a_1} = 8cm \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
  a:{a_1} = c:{c_1} \hfill \\
  12:8 = 15:{c_1} \hfill \\
  12{c_1} = 15 \cdot 8 \hfill \\
  {c_1} = \frac{{15 \cdot 8}}{{12}} \hfill \\
  {c_1} = 10cm \hfill \\
\end{gathered}  
\end{array}\]

Треба нам обим $О_1$ и површина $P_1$.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  \begin{gathered}
  {O_1} = {a_1} + {b_1} + {c_1} \hfill \\
  {O_1} = 8 + 6 + 10 \hfill \\
  {O_1} = 24cm \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
  {P_1} = \frac{{{a_1} \cdot {b_1}}}{2} \hfill \\
  {P_1} = \frac{{6 \cdot 8}}{2} \hfill \\
  {P_1} = 24cm \hfill \\
   \hfill \\
\end{gathered}  
\end{array}\]

Пр.4) Повуцимо из тачке $D$ паралелно са краком $BC$ дуж $DF$ кој ће ићи на оновицу до 18cm.

Добили смо $FBCD$ паралелограм, онда $FB=CD=16cm$.

Можемо израчунати дужину дуже $AF=18-16=2cm$.

Троуглове $\vartriangle ABC \sim \vartriangle AFD$ су сличне. Онда одговараjуће странице и висине пропорционалне.

\[\begin{gathered}
  AB:AF = {h_1}:h \hfill \\
  18:2 = {h_1}:12 \hfill \\
  2 \cdot {h_1} = 18 \cdot 12 \hfill \\
  {h_1} = \frac{{18 \cdot 12}}{2} \hfill \\
  {h_1} = 108cm \hfill \\
\end{gathered} \]