Векторски производ вектора – примери 4

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6)   Наћи површину паралелограма ако су његове дијагонале задате векторима $2\overrightarrow m  - \overrightarrow n $, где су $\overrightarrow m $ и $\overrightarrow n $ јединични вектори који заклапају угао од ${45^ \circ }$.

Пр.7)   Израчунати висину ${h_a}$ паралелограма конструисаног над векторима $\overrightarrow a  = 2\overrightarrow m  + 3\overrightarrow n $ и $\overrightarrow b  = \overrightarrow m  - 4\overrightarrow n $, где су $\overrightarrow m $ и $\overrightarrow n $ међусобно нормални једнични вектори.

Пр.6) 

\[\begin{gathered}
\overrightarrow {{d_1}} = 2\overrightarrow m - \overrightarrow n \hfill \\
\overrightarrow {{d_2}} = 4\overrightarrow m - 5\overrightarrow n \hfill \\
\overrightarrow {{d_1}} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \hfill \\
\underline {\overrightarrow {{d_2}} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \hfill \\
2\overrightarrow b = \overrightarrow {{d_1}} + \overrightarrow {{d_2}} \hfill \\
2\overrightarrow b = 2\overrightarrow m - \overrightarrow n + 4\overrightarrow m - 5\overrightarrow n \hfill \\
2\overrightarrow b = 6\overrightarrow m - 6\overrightarrow n \hfill \\
\overrightarrow b = 3\overrightarrow m - 3\overrightarrow n \hfill \\
\hfill \\
2\overrightarrow m - \overrightarrow n = \overrightarrow a + 3\overrightarrow m - 3\overrightarrow n \hfill \\
\overrightarrow a = - \overrightarrow m + 2\overrightarrow n \hfill \\
\hfill \\
P = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\left( { - \overrightarrow m + 2\overrightarrow n } \right) \times \left( {3\overrightarrow m - 3\overrightarrow n } \right)} \right| = \hfill \\
= \left| { - 3\overrightarrow m \times \overrightarrow m + 3\overrightarrow m \times \overrightarrow n + 6\overrightarrow n \times \overrightarrow m - 6\overrightarrow n \times \overrightarrow n } \right| = \hfill \\
= \left| { - 3\overrightarrow n \times \overrightarrow m + 6\overrightarrow n \times \overrightarrow m } \right| = \left| {3\overrightarrow n \times \overrightarrow m } \right| = 3\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow m } \right|sin\measuredangle \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow m } \right) = \hfill \\
= 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.7) 

\[\begin{gathered}
P = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| \hfill \\
P = a \cdot {h_a} = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot {h_a} \hfill \\
\hfill \\
\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left( {2\overrightarrow m + 3\overrightarrow n } \right) \times \left( {\overrightarrow m - 4\overrightarrow n } \right) = 2\overrightarrow m \times \overrightarrow m - 8\overrightarrow m \times \overrightarrow n + 3\overrightarrow n \times \overrightarrow m - 12\overrightarrow n \times \overrightarrow n = \hfill \\
= 8\overrightarrow n \times \overrightarrow m + 3\overrightarrow n \times \overrightarrow m = 11\overrightarrow n \times \overrightarrow m \hfill \\
P = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {11\overrightarrow n \times \overrightarrow m } \right| = 11\left| {\overrightarrow n } \right|\left| {\overrightarrow m } \right| \cdot \sin \measuredangle \left( {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right) = 11 \hfill \\
{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = \left( {2\overrightarrow m + 3\overrightarrow n } \right) \cdot \left( {2\overrightarrow m + 3\overrightarrow n } \right) = 4\overrightarrow m \times \overrightarrow m + 6\overrightarrow m \times \overrightarrow n + 6\overrightarrow n \times \overrightarrow m - 12 + 9\overrightarrow n \times \overrightarrow n = \hfill \\
= 4{\left| {\overrightarrow m } \right|^2} + 12\overrightarrow m \overrightarrow n + 9{\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = \hfill \\
\hfill \\
\overrightarrow m \overrightarrow n = \left| {\overrightarrow m } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \hfill \\
\hfill \\
= 4 + 9 = 13 \hfill \\
\hfill \\
\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {13} \hfill \\
11 = \sqrt {13} \cdot {h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{11\sqrt {13} }}{{13}} \hfill \\
\end{gathered} \]