Скаларни производ вектора – примери 4

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.7)   Одредити дужине дијагонала паралелеограма конструисаног над векторима $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ ако је $\overrightarrow a  = 5\overrightarrow p  + 2\overrightarrow q ,\overrightarrow b  = \overrightarrow p  - 3\overrightarrow q $ и $\left| {\overrightarrow p } \right| - 2\sqrt 2 ,\left| {\overrightarrow q } \right| - 3, < \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) = \frac{\pi }{4}$

Пр.7)

\[\begin{gathered}
\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right|,\left| {\overrightarrow {{d_2}} } \right| = ? \hfill \\
\overrightarrow {{d_1}} = \overrightarrow a + \overrightarrow b = 5\overrightarrow p + 2\overrightarrow q + \overrightarrow p - 3\overrightarrow q = 6\overrightarrow p - \overrightarrow q \hfill \\
\overrightarrow {{d_2}} = \overrightarrow { - a} + \overrightarrow b = - 5\overrightarrow p - 2\overrightarrow q + \overrightarrow p - 3\overrightarrow q = - 4\overrightarrow p - 5\overrightarrow q \hfill \\
{\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right|^2} = \overrightarrow {{d_1}} \cdot \overrightarrow {{d_1}} = \left( {6\overrightarrow p - \overrightarrow q } \right)\left( {6\overrightarrow p - \overrightarrow q } \right) = 36\overrightarrow p \cdot \overrightarrow p - 6\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q - 6\overrightarrow q \cdot \overrightarrow p + \overrightarrow q \cdot \overrightarrow q = \hfill \\
= 36{\left| {\overrightarrow p } \right|^2} - 12\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q + {\left| {\overrightarrow q } \right|^2} = 36{\left| {\overrightarrow p } \right|^2} - 12\left| {\overrightarrow p } \right|\left| {\overrightarrow q } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow p ,\overrightarrow q } \right) + {\left| {\overrightarrow q } \right|^2} = 36 \cdot 8 - 12 \cdot 6 + 9 = \hfill \\
= 288 - 72 + 9 \hfill \\
{\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right|^2} = 225 \hfill \\
\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right| = 15 \hfill \\
\hfill \\
{\left| {\overrightarrow {{d_2}} } \right|^2} = \overrightarrow {{d_2}} \cdot \overrightarrow {{d_2}} = \left( { - 4\overrightarrow p - 5\overrightarrow q } \right)\left( { - 4\overrightarrow p - 5\overrightarrow q } \right) = 16\overrightarrow p \cdot \overrightarrow p + 20\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q + 20\overrightarrow q \cdot \overrightarrow p + \overrightarrow {25q} \cdot \overrightarrow q = \hfill \\
= 16{\left| {\overrightarrow p } \right|^2} + 40\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q + 25{\left| {\overrightarrow q } \right|^2} = 16 \cdot 8 + 40 \cdot 6 + 25 \cdot 9 = 36 \cdot 8 - 12 \cdot 6 + 9 = 593 \hfill \\
{\left| {\overrightarrow {{d_2}} } \right|^2} = 593 \hfill \\
\left| {\overrightarrow {{d_2}} } \right| = \sqrt {593} \hfill \\
\end{gathered} \]