Скаларни производ вектора – примери 3

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5)   Наћи угао измећу јединичних вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ ако је $\overrightarrow m $ $ \bot $ $\overrightarrow n $, где је $\overrightarrow m  = \overrightarrow a  + 2\overrightarrow b $ и $\overrightarrow n  = 5\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b $.

Пр.6)   Одреди број $x$ тако да вектори $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ буду међусобно нормални, ако је $\left| {\overrightarrow m } \right| = 1,\left| {\overrightarrow n } \right| = 2, < \left( {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right) = {60^ \circ }$, а вектори $\overrightarrow a  = 4\overrightarrow m  + x\overrightarrow n $ и $\overrightarrow b  =  - 2\overrightarrow m  + \overrightarrow n $

Пр.5) 

\[\begin{gathered}
\overrightarrow m \bot \overrightarrow n \Leftrightarrow \overrightarrow m \cdot \overrightarrow n = 0 \hfill \\
\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\left( {5\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right) = 0 \hfill \\
5\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a - 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 10\overrightarrow b \cdot \overrightarrow a - 8\overrightarrow b \cdot \overrightarrow b = 0 \hfill \\
5{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 6\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 8{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = 0 \hfill \\
5 - 6\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 8 = 0 \hfill \\
6\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \hfill \\
\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{1}{2} \hfill \\
\hfill \\
\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2} \hfill \\
\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2} \hfill \\
\measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {60^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.6)

\[\begin{gathered}
\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \hfill \\
\left( {4\overrightarrow m + x\overrightarrow n } \right)\left( { - 2\overrightarrow m + \overrightarrow n } \right) = 0 \hfill \\
- 8\overrightarrow m \cdot \overrightarrow m + 4\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n + \left( { - 2x\overrightarrow n \cdot \overrightarrow m } \right) + x\overrightarrow n \cdot \overrightarrow n = 0 \hfill \\
- 8{\left| {\overrightarrow m } \right|^2} + \overrightarrow m \cdot \overrightarrow n \left( {4 - 2x} \right) + x{\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = 0 \hfill \\
- 8 + 4 - 2x + 4x = 0 \hfill \\
2x = 4 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \]