Лопта – примери 1

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Лопта полупречника 13cm је пресечена равни која је од центра лопте удаљена 5cm. Израчунати површину и запремину одсечка и исечка лопте који тако настаје.

Пр.2)   Пресеци две паралелне равни и лопте имају површине 

$49\pi c{m^2}$ и $4\pi c{m^2}$, а растојање између тих равни, које се налазе са различитих страна центра лопте је 9cm. Наћи површину и запремину лопте.

Пр.1)

\[\begin{gathered}
  {P_o} = {P_k} + {r^2}\pi  \hfill \\
  {P_o} = 2R\pi h + {r^2}\pi  \hfill \\
   \hfill \\
  R = 5 + h \hfill \\
  13 = 5 + h \hfill \\
  h = 8cm \hfill \\
   \hfill \\
  {R^2} = {r^2} + {5^2} \hfill \\
  {13^2} = {r^2} + {5^2} \hfill \\
  {r^2} = 169 - 25 \hfill \\
  {r^2} = 144 \hfill \\
  r = 12cm \hfill \\
   \hfill \\
  {P_o} = 2 \cdot 13\pi  \cdot 8 + 144\pi  \hfill \\
  {P_o} = 208\pi  + 144\pi  \hfill \\
  {P_o} = 352\pi c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  {V_o} = \frac{1}{3}{h^2}\pi \left( {3R - h} \right) \hfill \\
  {V_o} = \frac{1}{3}64\pi \left( {313 - 8} \right) \hfill \\
  {V_o} = \frac{{1984}}{3}\pi c{m^3} \hfill \\
   \hfill \\
  {P_i} = {P_k} + {M_k} \hfill \\
  {P_i} = 2R\pi h + rR\pi  \hfill \\
  {P_i} = 208\pi  + 12 \cdot 13\pi  \hfill \\
  {P_i} = 364\pi c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  {V_i} = \frac{2}{3}{R^2}\pi h = {V_o} + {V_k} \hfill \\
  {V_i} = \frac{2}{3}169\pi 8 = \frac{{2704}}{3}\pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

\[\begin{gathered}
  h = 9cm \hfill \\
  {P_1} = 49\pi c{m^2} \hfill \\
  \underline {{P_2} = 4\pi c{m^2}}  \hfill \\
  {P_l} = ?,{V_l} = ? \hfill \\
   \hfill \\
  r_1^2\pi  = 49\pi  \hfill \\
  {r_1} = 7cm \hfill \\
  r_2^2\pi  = 4\pi  \hfill \\
  {r_2} = 2cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Означимо са $x$ дужину дуже $O{O_1}$, онда дужина дужи $O{O_2}$ је $9-x$.

\[\begin{gathered}
  {R^2} = r_1^2 + {x^2} \hfill \\
  {R^2} = r_2^2 + {\left( {9 - x} \right)^2} \hfill \\
  r_1^2 + {x^2} = r_2^2 + {\left( {9 - x} \right)^2} \hfill \\
  49 + {x^2} = 4 + 81 - 18x + {x^2} \hfill \\
  18x = 4 + 81 - 49 \hfill \\
  18x = 36 \hfill \\
  x = 2cm \hfill \\
  {R^2} = 49 + 4 \hfill \\
  R = \sqrt {53} cm \hfill \\
  \begin{array}{*{20}{c}}
  \begin{gathered}
  {P_l} = 4{R^2}\pi  \hfill \\
  {P_l} = 4 \cdot 53\pi  \hfill \\
\end{gathered} &{}
\end{array} \hfill \\
  {P_l} = 212\pi c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  {V_l} = \frac{4}{3}{R^3}\pi  \hfill \\
  {V_l} = \frac{4}{3}53\sqrt {53} \pi  \hfill \\
  {V_l} = \frac{{212\sqrt {53} }}{3}\pi c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]