Основни тригонометријски идентитети

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1)   Одредити остале тригонометријске функције ако нам је дат

           $\sin \alpha  =  - \frac{1}{3}$ и знамо да је $\alpha  \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right)$.

пр.2)   Дат нам је $ctg\alpha  =  - 2,5$, одредити остале тригонометријске

           функције ако је $\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2},2\pi } \right)$.

Пр.1

\[\begin{gathered}
\sin \alpha = - \frac{1}{3},\alpha \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right) \hfill \\
{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \hfill \\
{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1 \hfill \\
{\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} \hfill \\
{\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9} \hfill \\
\cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 8 }}{3} \hfill \\
\alpha \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 8 }}{3} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \hfill \\
tg\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \hfill \\
ctg\alpha = \frac{1}{{tg\alpha }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2

\[\begin{gathered}
ctg\alpha = - 2,5,\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2},2\pi } \right) \hfill \\
ctg\alpha = - \frac{5}{2} \hfill \\
tg\alpha = \frac{1}{{ctg\alpha }} = - \frac{2}{5} \hfill \\
ctg\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \frac{5}{2}\left| { \cdot \sin \alpha } \right. \hfill \\
\cos \alpha = - \frac{5}{2} \cdot \sin \alpha \hfill \\
\boxed{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha = 1} \hfill \\
{\sin ^2}\alpha + {\left( { - \frac{5}{2} \cdot \sin \alpha } \right)^2} = 1 \hfill \\
{\sin ^2}\alpha + \frac{{25}}{4}{\sin ^2}\alpha = 1 \hfill \\
{\sin ^2}\alpha \left( {1 + \frac{{25}}{4}} \right) = 1 \hfill \\
{\sin ^2}\alpha \cdot \frac{{29}}{4} = 1 \hfill \\
{\sin ^2}\alpha = \frac{4}{{29}} \hfill \\
\sin \alpha = \pm \frac{2}{{\sqrt {29} }} \cdot \frac{{\sqrt {29} }}{{\sqrt {29} }} = \pm \frac{{2\sqrt {29} }}{{29}} \hfill \\
\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2},2\pi } \right) \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{2\sqrt {29} }}{{29}} \hfill \\
\cos \alpha = - \frac{5}{2} \cdot \sin \alpha = - \frac{5}{2} \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt {29} }}{{29}}} \right) = - \frac{{5\sqrt {29} }}{{29}} \hfill \\
\end{gathered} \]