Експоненцијалне једначине 4

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијану једначину.

пр.11)   ${2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} + {2^{x + 3}} = 30$

пр.12)   ${2^{3x + 1}} + 1 = {2^{2x}} + {2^{x +1}}$

пр.13)   ${5^{x + 1}} - {5^{x - 1}} = 24$

пр.14)   ${7^{x + 2}} - \frac{1}{7} \cdot {7^{x + 1}} - 14 \cdot {7^{x - 1}} + 2 \cdot {7^x} = 48$

Пр. 11

\[\begin{gathered}
{2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} + {2^{x + 3}} = 30 \hfill \\
{2^x} + {2^x} \cdot {2^1} + {2^x} \cdot {2^2} + {2^x} \cdot {2^3} = 30 \hfill \\
{2^x}\left( {1 + \cdot {2^1} + \cdot {2^2} + \cdot {2^3}} \right) = 30 \hfill \\
{2^x}\left( {1 + 2 + 4 + 8} \right) = 30 \hfill \\
{2^x} \cdot 15 = 30 \hfill \\
{2^x} = {2^1} \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр. 12

\[\begin{gathered}
{2^{3x + 1}} + 1 = {2^{2x}} + {2^{x + 1}} \hfill \\
{2^{3x}} \cdot {2^1} + 1 = {2^{2x}} + {2^x} \cdot {2^1} \hfill \\
смена:{2^x} = t \hfill \\
2{t^3} + 1 = {t^2} + 2t \hfill \\
2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0 \hfill \\
{t^2}\left( {2t - 1} \right) - \left( {2t - 1} \right) = 0 \hfill \\
\left( {2t - 1} \right)\left( {{t^2} - 1} \right) = 0 \hfill \\
\left( {2t - 1} \right)\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 0 \hfill \\
\hfill \\
2t - 1 = 0 \hfill \\
t = \frac{1}{2} \hfill \\
{2^x} = \frac{1}{2} \hfill \\
{2^x} = {2^{ - 1}} \hfill \\
x = - 1 \hfill \\
\hfill \\
t - 1 = 0 \hfill \\
{2^x} - 1 = 0 \hfill \\
{2^x} = 1 \hfill \\
{2^x} = {1^0} \hfill \\
x = 0 \hfill \\
\hfill \\
t + 1 = 0 \hfill \\
{2^x} + 1 = 0 \hfill \\
{2^x} = - 1 \hfill \\
\end{gathered} \]

ова експоненцијална једначина нема решења (експоненцијална функција је увек позитивна)

\[x = \left\{ { - 1;0} \right\}\]

Пр. 13

\[\begin{gathered}
{5^{x + 1}} - {5^{x - 1}} = 24 \hfill \\
{5^x} \cdot 5 - \frac{{{5^x}}}{5} = 24 \hfill \\
{5^x} \cdot \left( {5 - \frac{1}{5}} \right) = 24 \hfill \\
{5^x} \cdot \frac{{24}}{5} = 24 \hfill \\
{5^x} = {5^1} \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр. 14

\[\begin{gathered}
{7^{x + 2}} - \frac{1}{7} \cdot {7^{x + 1}} - 14 \cdot {7^{x - 1}} + 2 \cdot {7^x} = 48 \hfill \\
{7^x} \cdot {7^2} - \frac{1}{7} \cdot {7^x} \cdot 7 - 14 \cdot \frac{{{7^x}}}{7} + 2 \cdot {7^x} = 48 \hfill \\
{7^x} \cdot {7^2} - {7^x} - 2 \cdot {7^x} + 2 \cdot {7^x} = 48 \hfill \\
{7^x} \cdot \left( {{7^2} - 1} \right) = 48 \hfill \\
{7^x} \cdot 48 = 48 \hfill \\
{7^x} = 1 \hfill \\
x = 0 \hfill \\
\end{gathered} \]