Геометрија – четвороуглови 2

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.2   Нека су $M$ и $N$ средишта страница $BC$ и $CD$

          паралелограма $ABCD$. Праве $AM$ и $AN$ секу дија-

          гоналу $BC$ у рачкама $K$ и $L$. Покажи да ове тачке

          секу дијагоналу на три једнака дела.

Пр.3   У трапезу $ABCD$ средња линија је $18cm$. Права која

          пролази кроз тачку $D$ и паралелна је са краком $BC$,

          сече основицу $AB$ у тачки $E$. Одреди дужине основица

          трапеза ако знамо да је $AE = 1cm$.

Пр.2

Нека jе тачка М средиште ВС, а тачка N средиште СD. Праве АN и АМ секу дуж  ВD у тачкама K и L.

Показаћемо да jе 

\[BK = KL = LD\]

За $\vartriangle ABC$ важи:

О- jе средиште АС, онда ВО jе тежишна дуж $\vartriangle ABC$, тачка М  jе средиште ВС,  онда АМ jе тежишна дуж $\vartriangle ABC$. Тежишне дужи секу се у тачки К. Онда jе К тежиште $\vartriangle ABC$. Тежиште дели тежишне дужи у односу 2:1 почевши од врха.

\[\frac{{DK}}{{KO}} = \frac{2}{1}\] 

За $\vartriangle ADC$ је важи:

О- jе средиште АС, онда ВО jе тежишна дуж $\vartriangle ADC$, тачка N  jе средиште DС,  онда АN jе тежишна дуж $\vartriangle ADC$. Тежишне дужи секу се у тачки L. Онда L  jе тежиште $\vartriangle ADC$. Тежиште дели тежишне дужи у односу 2:1 почевши од врха.

\[\frac{{DL}}{{LO}} = \frac{2}{1}\] 

 Добили смо $\frac{{DK}}{{KO}} = \frac{2}{1},$ $\frac{{DL}}{{LO}} = \frac{2}{1},$ DO=BO, онда

DL=LK=KB

Пр.3

Нека jе MN средња линија трапеза. \[MN = \frac{{AB + CD}}{2}\]

За $\square DEBC$ важи:

$DE\parallel BC,DC\parallel EB \Rightarrow \square DEBC$ - паралелограм.

Онда \[DC = BE\]

\[\begin{gathered}
\frac{{AB + CD}}{2} = 18 \hfill \\
AB + CD = 36 \hfill \\
AB + EB = 36 \hfill \\
AB + AB - AE = 36 \hfill \\
2AB = 37 \hfill \\
AB = 18,5 \hfill \\
\end{gathered} \]

Даље

\[\begin{gathered}
AB + CD = 36 \hfill \\
CD = 36 - 18,5 \hfill \\
CD = 17,5 \hfill \\
\end{gathered} \]