Таутологије – пример 3

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3 Испитати да ли је следећа формула таутологија:

 $ \left( {\left( {p \Leftrightarrow q} \right) \Rightarrow \neg r} \right) \vee \left( {\left( {s \wedge \neg t} \right) \Rightarrow \left( {r \vee p} \right)} \right)$

\[F:((p \Leftrightarrow q) \Rightarrow \neg r) \vee ((s \wedge \neg t) \Rightarrow (r \vee p))\]

Да jе исказна формула $ \left( {\left( {p \Leftrightarrow q} \right) \Rightarrow \neg r} \right) \vee \left( {\left( {s \wedge \neg t} \right) \Rightarrow \left( {r \vee p} \right)} \right)$ jедна таутологиjа можемо установити овако: ако посматрана формула  не би била таутологиjа, требало би бити, за неке вредности елементарних исказа p, q, r, s и t коjи се у овоj формули поjављуjу, 

\[\tau \left[ F \right] =  \bot \] 

То би се могло десити jедино у случаjу да jе

 \[\tau \left[ {(p \Leftrightarrow q) \Rightarrow \neg r} \right] =  \bot \]

и  \[\tau \left[ {(s \wedge \neg t) \Rightarrow (r \vee p)} \right] =  \bot \] (диcjункциjа ова два исказа ниjе тачна уколико нису тачни ови искази).

Овде даље у првом делу видемо импликациjу два исказа коjи нису тачни.

За импликациjу знам да она ниjе тачна кад  jе први исказ тачан а други ниjе тачан:

\[\tau [p \Leftrightarrow q] =  \top \]

\[\tau \left[ {\neg r} \right] =  \bot \]

Из другог исказа можемо закључити да 

\[\boxed{\tau [r] =  \top }\]

У другом делу задатка видемо импликациjу два исказа коjи нису тачни.

\[\tau \left[ {(s \wedge \neg t) \Rightarrow (r \vee p)} \right] =  \bot \]

Импликациjа ниjе тачна кад  jе први исказ тачан а други ниjе тачан:

\[\tau \left[ {s \wedge \neg t} \right] = \top\]

\[\tau \left[ {r \vee p} \right] = \bot \]

На исти начин добићемо да:

\[\boxed{\tau [s] =  \top }\]

\[\tau [\neg t] =  \top \]

\[\boxed{\tau [t] =  \bot }\]

Имамо 

\[\tau \left[ {r \vee p} \right] = \bot \] онда

\[\boxed{\tau [r] =  \bot }\] и

\[\boxed{\tau [p] =  \bot }\]

Враћамо се на први  део овог задатка.

 \[\tau \left[ {(p \Leftrightarrow q) \Rightarrow \neg r} \right] =  \bot \]

Добили смо да 

\[\tau [p] =  \bot \] онда је први исказ тачан 

 \[\tau [p \Leftrightarrow q] =  \top \] када

\[\boxed{\tau [q] =  \bot }\]

Када смо добили истинитосне вредности свих исказних слова можемо да приметимо да на jедном месту \[\tau \left[ {r} \right] =  \bot \] а на другом \[\tau \left[ {r} \right] =  \top \]

Ту смо дошли до контрадикциjе. Можемо да закључимо да посматрана формула jе таутологиjа.