Завршни испит - дефиниције и формуле
Видео лекције намењене понављању дефиниција и формула потребних за завршни испит из математике. Систематизовано по областима.

Разломци - дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

Разломци

Разломак је количник два природна броја $a$ и $b$ који се записује као \[a:b = \frac{a}{b}.\]

Број изнад разломачке црте назива се бројилац.

Број испод разломачке црте назива се именилац.

Разломци  $ \frac{a}{b},\frac{{a \cdot n}}{{b \cdot n}},\frac{{a:n}}{{b:n}}$  су једнаки.

Разломак $\frac{{a \cdot n}}{{b \cdot n}}$ добили смо операцијом проширивања.

Разломак $\frac{{a:n}}{{b:n}}$добили операцијом скраћивања.

Разломак чији су бројилац и именилац узајамно прости бројеви назива се несводљив разломак.

Уколико израчунамо количник бројиоца и имениоца добијамо децималан запис разломка.

Реципрочна вредност разломка $\frac{a}{c}$ једнака је $\frac{c}{a}$.

Разломак чији је бројилац већи од имениоца се назива неправи разломак. Њега можемо претворити у мешовити број. Први део мешовитог броја је број целих јединица садржаних у разломку, а други део је прави разломак (онај где је бројилац мањи од имениоца).

Мешовити број облика $A\frac{b}{c}$ претвара се у разломак по принципу $\frac{{A \cdot c + b}}{c}$.

Упоређивање разломака:

Од два разломка са истим имениоцем, већи је онај који има већи бројилац.

Од два разломка са истим бројиоцем, већи је онај који има мањи именилац.

Сабирање и одузимање разломака:

  • $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{{a + b}}{c}$
  • $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{{a - b}}{c}$
  • $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot d}} + \frac{{c \cdot b}}{{d \cdot b}} = \frac{{a \cdot d + c \cdot b}}{{b \cdot d}}$
  • $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot d}} - \frac{{c \cdot b}}{{d \cdot b}} = \frac{{a \cdot d - c \cdot b}}{{b \cdot d}},\left( {\frac{a}{b} > \frac{c}{d}} \right)$

Важе следећа правила: 

  • $\frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b}$
  • $\frac{a}{b} - 0 = \frac{a}{b}$
  • $\frac{a}{b} - \frac{a}{b} = 0$

Особине сабирања разломака су:

  • Комутативност $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$.
  • Асоцијативност $\left( {\frac{a}{b} + \frac{c}{d}} \right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left( {\frac{c}{d} + \frac{e}{f}} \right)$

Mножење разломака

  • $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}$
  • $\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$
  • $\frac{a}{b} \cdot 0 = 0$

Особине које важе код множења разломака:

  • Комутативност  \[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}\]
  • Асоцијативност   \[\left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}} \right) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}} \right)\]
  • Дистрибутивност множења у односу на сабирање \[\frac{a}{b} \cdot \left( {\frac{c}{d} + \frac{e}{f}} \right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f}\]  

Дељење разломака:

Дељење разломком је исто што и множење његовом реципрочном вредношћу, односно важи:

 \[\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\]

Ово смо могли записати и као  $\frac{{\frac{a}{b}}}{{\frac{c}{d}}}$.   Овакав тип разломка се зове двојни разломак и његову вредност израчунавамо на начин \[\frac{{\frac{a}{b}}}{{\frac{c}{d}}} = \frac{{{\text{a}} \cdot {\text{d}}}}{{{\text{b}} \cdot {\text{c}}}}\]