Завршни испит - дефиниције и формуле
Видео лекције намењене понављању дефиниција и формула потребних за завршни испит из математике. Систематизовано по областима.

Децимални запис - дефиниције и особине

Дефиниције и формуле илустроване једноставним примерима.

Задаци

ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИС

Децимални запис се састоји од два низа цифара коју су одвојени децималним зарезом. Сваки разломак можемо представити у децималном запису.

Децимални запис настаје тако што бројилац разломка поделимо имениоцем према стандардним правилима за дељење бројева, с тим што водимо рачуна да када почнемо да „преписујемо“ децималне нуле иза бројиоца,прво ставимо децимални зарез у количник а потом наставимо дељење.

Цифре са леве стране децималног зареза представљају број целих садржаних у разломку, док цифре са десне стране представљају десетине, стотине, хиљадитине,...., односно десете, стоте, хиљадите делове једног целог.

Целе бројеве можемо записати у децималном запису тако што иза децималног зареза дописујемо нуле (произвољно много њих).

Такође, додавање произвољног броја нула испред неће променити вредност броја.

3 = 3,000 = 003,000

Цифре са десне стране децималног записа називамо децимале.

Децимални запис разломка може да буде коначан (садржи коначан број децимала) или бесконачан (садржи бесконачан број децимала).

Децимални запис разломка код кога се једна или више (истим редоследом) децимала бесконачно пута понавља називамо бесконачан периодичан децимални запис разломка

 \[3,\dot 5 = 3,5555...;8,\overline {35}  = 8,3535...;25,3\overline {18}  = 25,3181818...\]

Поређење децималних бројева:

Поређење бројева у децималном запису се врши тако што се пореде највеће значајне цифре тих бројева.

Треба, ипак, водити рачуна о следећем:

0,032 < 0,058 (обе значајне цифре представљају стотине и важи 3 < 5)

0,032 > 0,0058 (највећа значајна цифра првог броја представља стотине, док највећа значајна цифра другог броја представља хиљадитине,стога је први број већи од другог).

 

Превођење разломка облика  $\frac{a}{b}$ у децимални запис.

Да бисмо разломак записан у облику  $\frac{a}{b}$  представили у децималном запису, довољно је да га проширимо тако да његов именилац буде декадна јединица.

 \[\frac{5}{4} = \frac{{5 \cdot 25}}{{4 \cdot 25}} = \frac{{125}}{{100}} = 1,25\]

 

Превођење децималног записа разломка у запис облика   $\frac{a}{b}$ .

Децимални запис разломка представљамо у облику   $\frac{a}{b}$,  тако што за бројилац  узимамо децимални запис, без запете, а за именилац  декадну  јединицу  чији је број нула једнак броју цифара децималног дела.

 \[1,25 = \frac{{125}}{{100}} = \frac{5}{4}\]

Превођење бесконачних периодичних децималних записа у запис облика   $\frac{a}{b}$.

Бесконачан периодичан децимални запис разломка преводимо у запис облика  $\frac{a}{b}$  тако што га помножимо с одговарајућом декадном јединицом и формирамо једначину у којој учествују бројеви који нису периодични.

Пример. У облику разломка записати број $0,\overline {37} $.

Означимо са x број $0,\overline {37} $.

Имамо да је $x \cdot 100 - x = 37,\overline {37}  - 0,\overline {37}  = 37$, одакле добијамо да мора важити да је $99 \cdot x = 37$, односно да је $x = \frac{{37}}{{99}}$.

Заокругљивање децималних бројева:

  • Правило 1: Ако је прва цифра коју одбацујемо 0,1,2,3,4 цифра испред ње се не мења.

$3,4671 \approx 3,467$ 

  • Правило 2:Ако је прва цифра коју одбацујемо 6,7,8,9 цифра испред се увећава за1. 

    $2,277 \approx 2,28$

  • Правило 3:Ако је прва цифра коју одбацујемо 5,а иза ње има још цифара, онда се цифра испред увећава за 1.

    $3,451 \approx 3,5$

 

  • Правило 4: Ако је прва цифра коју одбацујемо 5, а иза ње нема више цифара, онда:
  •  Уколико је цифра испред 5 парна, она остаје непромењена.

$0,25 \approx 0,2$

  •  Уколико је цифра испред 5 непарна, она се повећава за 1.

$0,15 \approx 0,2$

 

Операције са децималним бројевима:

САБИРАЊЕ и ОДУЗИМАЊЕ се врши тако што два децимална броја потпишемо тако да децимални зарези буду један испод другог, а потом применимо „стандардно“ сабирање,односно одузимање.

 $\frac{{\begin{array}{*{20}{c}}
  {3,456} \\
  { + 2,731}
\end{array}}}{{6,187}}\frac{{\begin{array}{*{20}{c}}
  {3,456} \\
  { - 2,731}
\end{array}}}{{0,725}}$

МНОЖЕЊЕ децималних бројева вршимо тако што помножимо бројеве без децималног зарeза, а затим у производу одбројимо здесна онолико децималних места колико има у оба чиниоца.

$\begin{gathered}
  0,07 \cdot 1,32 = 0,0924 \hfill \\
  \frac{{7 \cdot 132}}{{924}} \hfill \\
\end{gathered} $ 

 

ДЕЉЕЊЕ бројева у децималном запису врши се тако што код делиоца померимо децимални зарез за онолико места удесно колико је потребно да он постане цео број. Исто толико померамо децимални зарез код дељеника, а онда радимо „стандардно“ дељење.

$28:0,02 = 2800:2 = 1400$