Трећи разред средње школе

Зарубљена пирамида - примери 2

Површина и запремина правилне тростране пирамиде. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Одреди површину и запремину правилне тростране зарубљене пирамиде чије су основне ивице 6cm и 2cm, а нагиб бочне стране према равни основе ${60^ \circ }$.

Пр.2)   Одреди површину и запремину правилне тростране зарубљене пирамиде ако је обим круга уписаног у доњу основу ${O_{U{B_1}}} = 14\sqrt 3 \pi cm$, површина круга описаног око горње основе ${P_{O{B_2}}} = 108c{m^2}$, а нагиб бочне ивице према равни основе ${60^ \circ }$.

Пр.1)

230

\[\begin{gathered}
  \frac{1}{3}{h_a} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = \frac{{6\sqrt 3 }}{6} = \sqrt 3  \hfill \\
  \frac{1}{3}{h_b} = \frac{1}{3}\frac{{b\sqrt 3 }}{2} = \frac{{b\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Означимо са $x$ дужину једној катете зеленог троугла:

\[\begin{gathered}
  x = \frac{1}{3}{h_a} - \frac{1}{3}{h_b} = \sqrt 3  - \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
  \cos {60^ \circ } = \frac{x}{h} \hfill \\
  \frac{1}{2} = \frac{{\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}}{h} \hfill \\
  h = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}cm \hfill \\
  tg{60^ \circ } = \frac{H}{x} \hfill \\
  \sqrt 3  = \frac{H}{{\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}} \hfill \\
  H = \sqrt 3 \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = 2cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  P = {B_1} + {B_2} + M \hfill \\
  P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{a + b}}{2}h \hfill \\
  P = \frac{{{6^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{6 + 2}}{2} \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
  P = 9\sqrt 3  + \sqrt 3  + 16\sqrt 3  \hfill \\
  P = 26\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}}  + {B_2}} \right) \hfill \\
  V = \frac{2}{3}\left( {9\sqrt 3  + \sqrt {9\sqrt 3  \cdot \sqrt 3 }  + \sqrt 3 } \right) \hfill \\
  V = \frac{{26}}{3}\sqrt 3 c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

231

\[\begin{gathered}
  {O_{U{B_1}}} = 14\sqrt 3 \pi  \hfill \\
  2{r_u}\pi  = 14\sqrt 3 \pi  \hfill \\
  {r_u} = 7\sqrt 3 cm \hfill \\
  {r_u} = \frac{1}{3}{h_a} \hfill \\
  \frac{1}{3}{h_a} = 7\sqrt 3  \hfill \\
  {h_a} = 21\sqrt 3 cm \hfill \\
   \hfill \\
  {h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = 21\sqrt 3  \hfill \\
  a = 42cm \hfill \\
   \hfill \\
  {P_{O{B_2}}} = 108\pi  \hfill \\
  r_o^2\pi  = 108\pi  \hfill \\
  {r_o} = 6\sqrt 3  \hfill \\
   \hfill \\
  {r_o} = \frac{2}{3}{h_b} \hfill \\
  \frac{2}{3}{h_b} = 6\sqrt 3  \hfill \\
  {h_b} = 9\sqrt 3 cm \hfill \\
  {h_b} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  \frac{{b\sqrt 3 }}{2} = 9\sqrt 3  \hfill \\
  b = 18cm \hfill \\
\end{gathered} \]

У жутом троуглу:

\[\begin{gathered}
  tg{60^ \circ } = \frac{H}{{\frac{2}{3}{h_a} - \frac{2}{3}{h_b}}} \hfill \\
  tg{60^ \circ } = \frac{H}{{8\sqrt 3 }} \hfill \\
  \sqrt 3  = \frac{4}{{8\sqrt 3 }} \hfill \\
  H = 24cm \hfill \\
\end{gathered} \]

У зеленом троуглу:

\[\begin{gathered}
  {h^2} = {H^2} + \left( {\frac{1}{3}{h_a} - \frac{1}{3}{h_b}} \right) \hfill \\
  {h^2} = {24^2} + {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} \hfill \\
  {h^2} = 576 + 48 \hfill \\
  {h^2} = 626 \hfill \\
  h = 4\sqrt {39} cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  P = {B_1} + {B_2} + M \hfill \\
  P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{a + b}}{2}h \hfill \\
  P = \frac{{1764\sqrt 3 }}{4} + \frac{{324\sqrt 3 }}{4} + 3 \cdot 30 \cdot 4\sqrt {39}  \hfill \\
  P = 441\sqrt 3  + 81\sqrt 3  + 360\sqrt {39}  \hfill \\
  P = 522\sqrt 3  + 360\sqrt {39} c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}}  + {B_2}} \right) \hfill \\
  V = 8\left( {441\sqrt 3  + 189\sqrt 3  + 81\sqrt 3 } \right) \hfill \\
  V = 5688\sqrt 3 c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]