Трећи разред средње школе

Зарубљена пирамида - примери 1

Површина и запремина зарубљене правилне четворостране и шестостране пирамиде. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Површина правилне четворостране зарубљене пирамиде је $2048c{m^2}$, а њене осовице су 22cm и 8cm. Израчунати запремину пирамиде.

Пр.2)   Израчунати површину и запремину правилне шестостране зарубљене пирамиде ако је полупречник кружнице описане око доње основе $6\sqrt 3 cm$, полупречник кружнице описане око горње основе $2\sqrt 3 cm$, а нагиб бочне ивице према равни основе ${60^ \circ }$.

Пр.1)

226

\[\begin{gathered}
  V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}}  + {B_2}} \right) \hfill \\
  P = {B_1} + {B_2} + M \hfill \\
  P = {a^2} + {b^2} + 4\frac{{a + b}}{2}h \hfill \\
  2048 = {22^2} + {8^2} + 4\frac{{22 + 8}}{2}h \hfill \\
  2048 = 484 + 64 + 60h \hfill \\
  60h = 2048 - 484 - 64 \hfill \\
  60h = 1500 \hfill \\
  h = 25cm \hfill \\
   \hfill \\
  {h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2} - \frac{b}{2}} \right)^2} \hfill \\
  625 = {H^2} + {\left( {11 - 4} \right)^2} \hfill \\
  {H^2} = 625 - 49 \hfill \\
  {H^2} = 576 \hfill \\
  H = 24cm \hfill \\
   \hfill \\
  V = \frac{{24}}{3}\left( {484 + 22 \cdot 8 + 64} \right) \hfill \\
  V = 5792c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

Означимо cа ${R_a}$ полупречник кружнице описане око доње основе, са ${R_b}$ полупречник кружнице описане око горње основе.

\[{R_a} = a = 2\sqrt 3 cm,{R_b} = b = 6\sqrt 3 cm\]

229

У жутом троуглу:

\[\begin{gathered}
  tg{60^ \circ } = \frac{H}{{a - b}} \hfill \\
  \sqrt 3  = \frac{H}{{4\sqrt 3 }} \hfill \\
  H = 12cm \hfill \\
\end{gathered} \]

У плавом троуглу:

\[\begin{gathered}
  {h^2} = {H^2} + {6^2} \hfill \\
  {h^2} = {12^2} + {6^2} \hfill \\
  {h^2} = 180 \hfill \\
  h = 6\sqrt 5 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  {h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{6\sqrt 3 \sqrt 3 }}{2} = 9cm \hfill \\
  {h_b} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 3 \sqrt 3 }}{2} = 3cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  P = {B_1} + {B_2} + M \hfill \\
  P = 6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 6 \cdot \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{4} + 6 \cdot \frac{{a + b}}{2}h \hfill \\
  P = 6 \cdot \frac{{36 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} + 6 \cdot \frac{{4 \cdot 3\sqrt 3 }}{4} + 6 \cdot \frac{{6\sqrt 3  + 2\sqrt 3 }}{2} \cdot 6\sqrt 5  \hfill \\
  P = 162\sqrt 3  + 18\sqrt 3  + 24\sqrt 3  \cdot 6\sqrt 5  \hfill \\
  P = 180\sqrt 3  + 144\sqrt {15}  \hfill \\
  P = 36\left( {5\sqrt 3  + 4\sqrt {15} } \right)c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  V = \frac{H}{3}\left( {{B_1} + \sqrt {{B_1}{B_2}}  + {B_2}} \right) \hfill \\
  V = \frac{{12}}{3}\left( {162\sqrt 3  + \sqrt {162\sqrt 3  \cdot 18\sqrt 3 }  + 18\sqrt 3 } \right) \hfill \\
  V = 936\sqrt 3 c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]