Трећи разред средње школе

Векторски производ вектора - примери 3

Израчунавање површине применом векторског производа вектора. Услов колинеарности.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4)   Ако је $\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow {b,} \overrightarrow v  = \overrightarrow a  - 2\overrightarrow b ,\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 2,\angle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{\pi }{6}$, наћи $\left| {\overrightarrow u  \times \overrightarrow v } \right|$.

Пр.5)   Наћи површину паралелограма конструисаног над векторима $\overrightarrow p  = 2\overrightarrow b  - \overrightarrow a $ и $\overrightarrow q  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b $, ако је $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 5,\angle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{\pi }{4}$.

Пр.6)   Који услов треба да задовољавају вектори $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ да би вектори $2\overrightarrow a  - \overrightarrow b $ и $2\overrightarrow a  + \overrightarrow b $ били колинеарни?

Пр.4)

\[\begin{gathered}
\left| {\overrightarrow u \times \overrightarrow v } \right| = \left| {\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \times \left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)} \right| = \left| {2\overrightarrow a \times \overrightarrow a - 4\overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow b \times \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \times \overrightarrow b } \right| = \hfill \\
= \left| { - 4\overrightarrow a \times \overrightarrow b - \overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| { - 5\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = - 5\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = - 5\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|sin\measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 15 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5)

\[\begin{gathered}
P = \left| {\overrightarrow p \times \overrightarrow q } \right| = \left| {\left( {2\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) \times \left( {3\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)} \right| = \left| {6\overrightarrow b \times \overrightarrow a + 4\overrightarrow b \times \overrightarrow b - 3\overrightarrow a \times \overrightarrow a - 2\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \hfill \\
= \left| {6\overrightarrow b \times \overrightarrow a + 2\overrightarrow b \times \overrightarrow a } \right| = \left| {8\overrightarrow b \times \overrightarrow a } \right| = 8\left| {\overrightarrow b \times \overrightarrow a } \right| = 8\left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot sin\measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 8 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 100\sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.6)

\[\begin{gathered}
2\overrightarrow a - \overrightarrow b \parallel 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \Leftrightarrow \left| {\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \times \left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)} \right| = 0 \hfill \\
\left| {4\overrightarrow a \times \overrightarrow a + 2\overrightarrow a \times \overrightarrow b - 2\overrightarrow b \times \overrightarrow a - \overrightarrow b \times \overrightarrow b } \right| = 0 \hfill \\
\left| {2\overrightarrow a \times \overrightarrow b + 2\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = 0 \hfill \\
\left| {4\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = 0 \hfill \\
4\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = 0 \hfill \\
\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \hfill \\
\end{gathered} \]