Трећи разред средње школе

Векторски производ вектора - примери 1

Векторски производ јединичних вектора Декартовог координатног система.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   а) Одредити векторске производе вектора $\overrightarrow {i,} \overrightarrow j $ и $\overrightarrow k $

            б) Одредтити $\left( {\left( {\overrightarrow i  \times \overrightarrow j } \right) \times \overrightarrow i } \right) \times \overrightarrow i $

            в) Одредити $\overrightarrow i  \times \left( {\overrightarrow j  + \overrightarrow k } \right) - \overrightarrow j  \times \left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow k } \right) \times \overrightarrow k  \times \left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j  + \overrightarrow k } \right)$

Пр.1) a)

\[\begin{gathered}
\overrightarrow i \times \overrightarrow j = \overrightarrow k \hfill \\
\overrightarrow j \times \overrightarrow i = - \overrightarrow k \hfill \\
\overrightarrow j \times \overrightarrow k = \overrightarrow i \hfill \\
\overrightarrow k \times \overrightarrow j = - \overrightarrow i \hfill \\
\overrightarrow k \times \overrightarrow i = \overrightarrow j \hfill \\
\overrightarrow i \times \overrightarrow k = - \overrightarrow j \hfill \\
\left| {\overrightarrow i \times \overrightarrow i } \right| = \left| {\overrightarrow i } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|\sin \measuredangle \left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow i } \right) = 0 \hfill \\
\left| {\overrightarrow j \times \overrightarrow j } \right| = 0 \hfill \\
\left| {\overrightarrow k \times \overrightarrow k } \right| = 0 \hfill \\
\end{gathered} \]

b) 

\[\left( {\left( {\overrightarrow i  \times \overrightarrow j } \right) \times \overrightarrow i } \right) \times \overrightarrow i  = \left( {\overrightarrow k  \times \overrightarrow i } \right) \times \overrightarrow i  = \overrightarrow j  \times \overrightarrow i  =  - \overrightarrow k  = \left( {0,0, - 1} \right)\]
c) 

\[\begin{gathered}
\overrightarrow i \times \left( {\overrightarrow j + \overrightarrow k } \right) - \overrightarrow j \times \left( {\overrightarrow i + \overrightarrow k } \right) + \overrightarrow k \times \left( {\overrightarrow i + \overrightarrow j + \overrightarrow k } \right) = \hfill \\
= \overrightarrow i \times \overrightarrow j + \overrightarrow i \times \overrightarrow k - \overrightarrow j \times \overrightarrow i - \overrightarrow j \times \overrightarrow k + \overrightarrow k \times \overrightarrow i + \overrightarrow k \times \overrightarrow j + \overrightarrow k \times \overrightarrow k = \hfill \\
= 2\overrightarrow i \times \overrightarrow j - 2\overrightarrow j \times \overrightarrow k = 2\overrightarrow k + 2\overrightarrow i = 2\left( {\overrightarrow k - \overrightarrow i } \right) = 2\left( {\left( {0,0,1} \right) - \left( {1,0,0} \right)} \right) = \hfill \\
= 2\left( { - 1,0,1} \right) = \left( { - 2,0,2} \right) \hfill \\
\end{gathered} \]