Трећи разред средње школе

Ваљак - примери 2

Површина и запремина ваљка. Ваљак уписан у призму, ваљак описан око призме. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4)   Израчунај разлику запремина описаног и уписаног ваљка у праву тространу призму чије су основне ивице 25cm, 24cm и 7cm, ако је висина призме једнака средњој по величини висини троугла основе.

Пр.5)   Израчунај разлику површина и однос запремина ваљка описаног и уписаног у правилну тространу призму основене ивице $a$, чија је висина једнака висини основе.

Пр.4)

338

\[\begin{gathered}
  {P_\vartriangle } = \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)}  \hfill \\
  s = \frac{{a + b + c}}{2} \hfill \\
  s = \frac{{25 + 24 + 7}}{2} = 28cm \hfill \\
  {P_\vartriangle } = \sqrt {28\left( {28 - 25} \right)\left( {28 - 24} \right)\left( {28 - 7} \right)}  \hfill \\
  {P_\vartriangle } = \sqrt {28 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 21}  = 84c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  {P_\vartriangle } = r \cdot s \hfill \\
  84 = r \cdot 28 \hfill \\
  r = 3cm \hfill \\
   \hfill \\
  {P_\vartriangle } = \frac{{abc}}{{4R}} \hfill \\
  84 = \frac{{25 \cdot 24 \cdot 7}}{{4R}} \hfill \\
  R = \frac{{25}}{4}cm \hfill \\
   \hfill \\
  a > b > c \Rightarrow {h_a} < {h_b} < {h_c} \Rightarrow H = {h_b} \hfill \\
  {P_\vartriangle } = \frac{{b{h_b}}}{2} \hfill \\
  84 = \frac{{24{h_b}}}{2} \Rightarrow {h_b} = 7cm \Rightarrow H = 7cm \hfill \\
  {V_o} - {V_u} = {R^2}\pi H - {r^2}\pi H = H\pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) \hfill \\
  {V_o} - {V_u} = 7\pi \frac{{579}}{4} = \frac{{4123}}{4}\pi  = 1030\frac{3}{4}cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5) 

339

описан ваљак  уписан ваљак 
\[\begin{gathered}
  R = \frac{2}{3}{h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
  H = {h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
   \hfill \\
  P = 2B + M \hfill \\
  {P_o} = 2{R^2}\pi  + 2R\pi  \cdot H \hfill \\
  {P_o} = 2{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\pi  + 2\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)\pi  \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  {P_o} = \frac{{5{a^2}\pi }}{3} \hfill \\
   \hfill \\
  V = BH \hfill \\
  V = \frac{{{a^2}\pi }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  {V_o} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{6} \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
  r = \frac{1}{3}{h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \hfill \\
  H = {h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
   \hfill \\
  {P_u} = 2{r^2}\pi  + 2r\pi  \cdot H \hfill \\
  {P_u} = 2{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2}\pi  + 2\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)\pi  \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  {P_u} = \frac{{2{a^2}\pi }}{3} \hfill \\
   \hfill \\
  V = BH \hfill \\
  V = \frac{{{a^2}\pi }}{{12}} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  {V_u} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{{24}} \hfill \\
\end{gathered} \]

 

\[\begin{gathered}
  {P_o} - {P_u} = \frac{{5{a^2}\pi }}{3} - \frac{{2{a^2}\pi }}{3} = {a^2}\pi  \hfill \\
  \frac{{{V_o}}}{{{V_u}}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{6}:\frac{{{a^3}\sqrt 3 \pi }}{{24}} = 4 \hfill \\
\end{gathered} \]