Трећи разред средње школе

Призма примери 5

Решени задаци, правилна четворострана и шестострана призма.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.8)   Израчунати површину и запремину правилне четворостране призме чија дијагонала $D$ заклапа са равни бочне стране угао $\alpha $.

Пр.9)   Израчунати површину и запремину правилне шестостране призме чија дужа дијагонала $D$ заклапа угао од ${30^ \circ }$ са бочном ивицом призме.

Пр.8)

218

\[\begin{gathered}
  P = 2B + M \hfill \\
  P = 2{a^2} + 4aH \hfill \\
\end{gathered} \]

Потребно израчунати страницу $a$ и висину $H$ призме.

У правоуглом троуглу $\vartriangle B{C_1}{D_1}$ 

\[\begin{gathered}
  \sin \alpha  = \frac{a}{D} \hfill \\
  a = D\sin \alpha  \hfill \\
  \cos \alpha  = \frac{{{d_n}}}{D} \hfill \\
  {d_n} = D\cos \alpha  \hfill \\
\end{gathered} \]

У правоуглом троуглу $\vartriangle BC{C_1}$

\[\begin{gathered}
  {H^2} = {d_n}^2 - {a^2} \hfill \\
  {H^2} = {\left( {D\cos \alpha } \right)^2} - {\left( {D\sin \alpha } \right)^2} \hfill \\
  {H^2} = {D^2}\left( {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha } \right) \hfill \\
  {H^2} = {D^2}\cos 2\alpha  \hfill \\
  H = D\sqrt {\cos 2\alpha }  \hfill \\
  P = 2{D^2}{\sin ^2}\alpha  + 4D\sin \alpha D\sqrt {\cos 2\alpha }  \hfill \\
  P = 2{D^2}{\sin ^2}\alpha  + 4{D^2}\sin \alpha \sqrt {\cos 2\alpha }  \hfill \\
  P = 2{D^2}\sin \alpha \left( {\sin \alpha  + 2\sqrt {\cos 2\alpha } } \right) \hfill \\
  V = BH \hfill \\
  V = {a^2}H \hfill \\
  V = {D^2}{\sin ^2}\alpha  \cdot D\sqrt {\cos 2\alpha }  \hfill \\
  V = {D^3}{\sin ^2}\alpha  \cdot \sqrt {\cos 2\alpha }  \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.9)

219

\[\begin{gathered}
  P = 2B + M \hfill \\
  P = 2 \cdot 6\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 6aH \hfill \\
  P = 3 \cdot {a^2}\sqrt 3  + 6aH \hfill \\
\end{gathered} \]

Потребно изразити страницу $a$ и висину $H$ призме преко дијагоналу $D$ и угао  $\varphi  = {30^ \circ }$

У правоуглом троуглу $\vartriangle A{D_1}{A_1}$

\[\begin{gathered}
  \cos {30^ \circ } = \frac{H}{D} \hfill \\
  2H = D\sqrt 3  \hfill \\
  H = \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  \sin {30^ \circ } = \frac{{2a}}{D} \hfill \\
  \frac{1}{2} = \frac{{2a}}{D} \hfill \\
  a = \frac{D}{4} \hfill \\
\end{gathered} \]

Сад можемо израчунати површину и запремину призме.

\[\begin{gathered}
  P = 3\frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3  + 6\frac{D}{4} \cdot \frac{{D\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  P = \frac{{3{D^2}}}{{16}}\sqrt 3  + 6 \cdot \frac{{{D^2}}}{8}\sqrt 3  \hfill \\
  P = \frac{{3{D^2}}}{{16}}\sqrt 3  + 12 \cdot \frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3  \hfill \\
  P = \frac{{15{D^2}}}{{16}}\sqrt 3  \hfill \\
  V = BH \hfill \\
  V = 6\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}H \hfill \\
  V = 3\frac{{\frac{{{D^2}}}{{16}}\sqrt 3 \frac{{D\sqrt 3 }}{2}}}{2} \hfill \\
  V = 3\frac{{3{D^3}}}{{32 \cdot 2}} \hfill \\
  V = \frac{{9{D^3}}}{{64}} \hfill \\
\end{gathered} \]