Трећи разред средње школе

Призма примери 3

Решени задаци, паралелопипед.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4)   Основне ивице правог паралелопипеда су 10cm и 17cm, дужина дијагонала основе 21cm, а дужина дијагонала паралелопипеда је 29cm. Израчунати површину и запремину паралелопипеда.

Пр.5)   Основа правог паралелопипеда је паралелограм страница $2\sqrt 2 $cm и 5cm и оштрог угла ${45^ \circ }$, а краћа дијагонала паралелопипеда је 7cm. Израчунати површину и запремину паралелопипеда.

Пр.4)

214

Дате нам да су основне ивице правог паралелопипеда $a = 10cm$ и $b=17cm$, дужина дијагонала основе ${d_1} = 21cm$, а дужина дијагонала паралелопипеда је ${D_1} = 29cm$.

А тражимо површину $P$ и запремину $V$ паралелопипеда.

\[\begin{gathered}
  P = 2B + M \hfill \\
  P = 2B + 2aH + 2bH \hfill \\
\end{gathered} \]

 Висину паралелопипеда $H$ израчунамо из $\vartriangle AC{C_1}$:

\[\begin{gathered}
  {H^2} = D_1^2 - d_1^2 \hfill \\
  {H^2} = 841 - 441 \hfill \\
  {H^2} = 400 \hfill \\
  H = 20cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Потребно израчунати површину базе паралелопипеда $B$

У бази паралелопипеда налази паралелограм. Његова површина је \[B = ab \cdot \sin \alpha \]

Применимо косиносну теорему на $\vartriangle ABC$

\[\begin{gathered}
  d_1^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) \hfill \\
  21^2 = {17^2} + {10^2} - 2 \cdot 17 \cdot 10 \cdot \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) \hfill \\
  \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) =  - \frac{{52}}{{340}} \hfill \\
   - \cos \alpha  =  - \frac{{52}}{{340}} \hfill \\
  cos\alpha  = \frac{{52}}{{340}} \hfill \\
\end{gathered} \]

Дале

\[\begin{gathered}
  {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \hfill \\
  {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{{52}}{{340}}} \right)^2} = 1 \hfill \\
  \sin \alpha  = \frac{{336}}{{340}} \hfill \\
  B = 17 \cdot 10 \cdot \frac{{336}}{{340}} = 168 \hfill \\
  P = 2 \cdot 168 + 2 \cdot 17 \cdot 20 + 2 \cdot 10 \cdot 20 = 1416c{m^2} \hfill \\
  V = 168 \cdot 20 = 3360c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

 

Пр.5)

215

Дате нам да су основне ивице правог паралелопипеда $a = 2\sqrt 2cm$ и $b=5cm$ и оштар угао $\alpha ={45^ \circ }$, а краћа дијагонала паралелопипеда је ${D_2} = 7cm$.

А тражимо површину $P$ и запремину $V$ паралелопипеда.

Применимо косиносну теорему на $\vartriangle ABD$

\[\begin{gathered}
  d_2^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \alpha  \hfill \\
  d_2^2 = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {5^2} - 2 \cdot 2\sqrt 2  \cdot 5 \cdot \cos {45^ \circ } \hfill \\
  d_2^2 = 8 + 25 - 20\sqrt 2 \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\
  d_2^2 = 13 \hfill \\
  {d_2} = \sqrt {13} cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Дале из $\vartriangle DBD_1$

\[\begin{gathered}
  {H^2} = D_2^2 - d_2^2 \hfill \\
  {H^2} = 49 - 13 \hfill \\
  {H^2} = 36 \hfill \\
  H = 6cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  P = 2B + M \hfill \\
  B = ab \cdot \sin \alpha  = 2\sqrt 2  \cdot 5 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 10c{m^2} \hfill \\
  M = 2aH + 2bH = 2 \cdot 2\sqrt 2  \cdot 6 + 2 \cdot 5 \cdot 6 = \left( {24\sqrt 2  + 60} \right)c{m^2} \hfill \\
  P = 2 \cdot 10 + 24\sqrt 2  + 60 = \left( {80 + 24\sqrt 2 } \right)c{m^2} \hfill \\
  V = B \cdot H \hfill \\
  V = 60c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]