Трећи разред средње школе

Призма примери 2

Решени задаци, паралелопипед.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3)   Израчунати дијагонале правог паралелопипеда основних ивица 5cm и 3cm, ако је једна дијагонала основе 4cm, а краћа дијагонала паралелопипеда нагнута према равни основе под углом од ${60^ \circ }$.

Пр.3)

211

Означимо основне ивице правог паралелопипеда са $a = 5cm,b = 3cm$, дијагоналу основе са ${d_2} = 4cm$, а краћа дијагонала паралелопипеда je ${D_2}$.

$\vartriangle BD{D_1}$ jе правоугли, онда

\[\begin{gathered}
  \cos {60^ \circ } = \frac{{{d_2}}}{{{D_2}}} \hfill \\
  \frac{1}{2} = \frac{4}{{{D_2}}} \hfill \\
  {D_2} = 8cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  tg{60^ \circ } = \frac{H}{{{d_2}}} \hfill \\
  \sqrt 3  = \frac{H}{4} \hfill \\
  H = 4\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Затим дале желимо да израчунамо дужу диjагоналу ${d_1}$ паралелограма коj се налази у основи паралелопипеда.

Применом косиносноj теореме:

\[{d_2}^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \alpha \]

Затим косиносну теорему примењимо и на троугао коj се налази испод дијагонале ${d_1}$

\[{d_1}^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right)\]

\[{d_1}^2 = {a^2} + {b^2} + 2ab\cos \alpha \]

\[\begin{gathered}
  \left. \begin{gathered}
  {d_1}^2 = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \alpha  \hfill \\
  {d_1}^2 = {a^2} + {b^2} + 2ab\cos \alpha  \hfill \\
\end{gathered}  \right| +  \hfill \\
  d_1^2 + d_2^2 = 2{a^2} + 2{b^2} \hfill \\
  d_1^2 + 16 = 2 \cdot 25 + 2 \cdot 9 \hfill \\
  d_1^2 = 50 + 18 - 16 \hfill \\
  d_1^2 = 52 \hfill \\
  {d_1} = 2\sqrt {13}  \hfill \\
\end{gathered} \]

Сада можемо израчунати дужу диjагоналу паралелопипеда ${D_1}$.

\[\begin{gathered}
  D_1^2 = {H^2} + d_1^2 \hfill \\
  D_1^2 = 48 + 52 \hfill \\
  {D_1} = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]