Призма примери 1

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Израчунати површину и запремину правилне четворостране призме ако је њена дијагонала 25cm, а дијагонала њене бочне стране 20cm.

Пр.2)   Израчунати површину и запремину квадра ако се његове ивице односе као 2:6:9, а његова дијагонала је дужине 44cm.

Пр.1)

У овом задатку нам jе потребно израчунати површину $P$ и запремину $V$ правилне четворостране призме $ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$. 

Троугао $\vartriangle AB{D_1}$ jе прав троугао, онда по Питагориноj теореми $A{D_1}^2 + A{B^2} = B{D_1}^2$ или ${D^2} = {a^2} + {d_n}^2$. Тогда

$$a = \sqrt {{D^2} - {{d_n}^2}} = \sqrt {625 - 400} = \sqrt {225} = 15см$$

Израчунамо висину призме $H$. Троугао $\vartriangle AD{D_1}$ jе прав троугао, онда по Питагориноj теореми имамо $A{D^2} + D{D_1}^2 = A{D_1}^2$ или ${d_n}^2 = {a^2} + {H^2}$. Тогда $$H = \sqrt {400 - 225} = 5\sqrt 7см$$ 

Сад можемо израчунати површину $P$ и запремину $V$.

$$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &P = 2{a^2} + 4aH \\ &P = 2 \cdot {15^2} + 4 \cdot 15 \cdot 5\sqrt 7 \\ &\boxed{P = 150(3 + 2\sqrt 7 ){см^2}} \\ &V = B \cdot H \\ &V = {a^2} \cdot H \\ &\boxed{V = 1125\sqrt 7 {см^3}}\end{aligned}$$

Пр.2) 

Основне ивице означимо са $a$ и $b$, а његову висину са $H$.

Тада нам у задатку дате да je

$$a:b:H = 2:6:9$$

имамо продужину пропорциjу коjу решавамо тако што $$a = 2k,b = 6k,H = 9k$$

Такође дата дијагонала квадра $D$ дужине 44cm.

У правоуглом троуглу $\vartriangle BD{D_1}$ катета $D{D_1}$ jе jеднако $H$, хипотенуза $B{D_1}$ je $D$, а другу катету $BD$ означимо са $d$:

$$\begin{aligned}&{D^2} = {H^2} + {d^2} \\ &{D^2} = {H^2} + {a^2} + {b^2} \\ &{44^2} = {\left( {9k} \right)^2} + {\left( {2k} \right)^2} + {\left( {6k} \right)^2} \\ &1936 = 121{k^2} \\ &{k^2} = 16 \\ &k = 4\end{aligned}$$

Сад можемо лако израчунати $$a = 8,b = 24,H = 36$$

$$\begin{aligned}&P = 2B + M \\ &P = 2ab + 2aH + 2bH \\ &P = 2 \cdot 8 \cdot 24 + 2 \cdot 8 \cdot 36 + 2 \cdot 24 \cdot 36 \\ &\boxed{P = 2688c{m^2}} \\ &V = B \cdot H \\ &V = abH \\ &\boxed{V = 6912c{m^3}}\end{aligned}$$