Трећи разред средње школе

Пирамида - примери 5

Површина и запремина пирамиде. Пирамида чија је основа квадрат, правилна тространа пирамида. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.7)   У основи пирамиде налази се квадрат. Једна бочна ивица нормална је на раван основе, а најдужа бочна ивица има дужину 20cm и нагнута је према равни основе под углом од ${30^ \circ }$. Израчунати површину и запремину пирамиде.

Пр.8)   Одреди површину и запремину правилне тростране пирамиде чија бочна ивица $\ell $ са висином пирамиде заклапа угао $\varphi $.

Пр.7)

221

У основи пирамиде налази се квадрат. Означимо страницу квадрата са $a$, бочну ивицу која је нормална на раван основе са $H$, најдужу бочну ивицу са $s$, а две други са ${s_1}$.

Погледамо на розе троугао. Он је правоугли. 

\[\begin{gathered}
  \sin {30^ \circ } = \frac{H}{s} \hfill \\
  \frac{1}{2} = \frac{H}{{20}} \hfill \\
  H = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  \cos {30^ \circ } = \frac{d}{s} \hfill \\
  \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{d}{{20}} \hfill \\
  d = 10\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

 \[\begin{gathered}
  a\sqrt 2  = 10\sqrt 3  \hfill \\
  a = 5\sqrt 6 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

 

222

223

 \[\begin{gathered}
  P = B + M \hfill \\
  P = {a^2} + 2 \cdot \frac{{aH}}{2} + 2\frac{{a{s_1}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

224

\[\begin{gathered}
  {s^2} = s_1^2 + {a^2} \hfill \\
  400 = s_1^2 + 25 \cdot 6 \hfill \\
  s_1^2 = 400 - 150 \hfill \\
  s_1^2 = 250 \hfill \\
  {s_1} = 5\sqrt {10} cm \hfill \\
   \hfill \\
  P = 25 \cdot 6 + 5\sqrt 6  \cdot 10 + 5\sqrt 6  \cdot 5\sqrt {10}  \hfill \\
  P = 150 + 50\sqrt 6  + 25\sqrt {60}  \hfill \\
  P = 150 + 50\sqrt 6  + 50\sqrt {15}  \hfill \\
  P = 50\left( {3 + \sqrt 6  + \sqrt {15} } \right)c{m^2} \hfill \\
   \hfill \\
  V = \frac{1}{3}BH \hfill \\
  V = \frac{1}{3} \cdot 150 \cdot 10 \hfill \\
  V = 500c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.8)

225

У жутом троуглу имамо:

\[\begin{gathered}
  \cos \varphi  = \frac{H}{l} \hfill \\
  H = l\cos \varphi  \hfill \\
   \hfill \\
  \sin \varphi  = \frac{{\frac{2}{3}{h_a}}}{l} \hfill \\
  \frac{2}{3}{h_a} = l\sin \varphi  \hfill \\
  \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = l\sin \varphi  \hfill \\
  a\sqrt 3  = 3l\sin \varphi  \hfill \\
  a = \frac{{3l\sin \varphi }}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \hfill \\
  a = \sqrt 3 l\sin \varphi  \hfill \\
\end{gathered} \]

У зеленом троуглу имамо:

\[\begin{gathered}
  {h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{1}{3}{h_a}} \right)^2} \hfill \\
  \frac{1}{3}{h_a} = \frac{{l\sin \varphi }}{2} \hfill \\
  {h^2} = {l^2}{\cos ^2}\varphi  + \frac{{{l^2}{{\sin }^2}\varphi }}{4} \hfill \\
  {h^2} = \frac{{4{l^2}{{\cos }^2}\varphi  + {l^2}{{\sin }^2}\varphi }}{4} \hfill \\
  {h^2} = \frac{{{l^2}\left( {4{{\cos }^2}\varphi  + {{\sin }^2}\varphi } \right)}}{4} \hfill \\
  {h^2} = \frac{{{l^2}\left( {3{{\cos }^2}\varphi  + 1} \right)}}{4} \hfill \\
  h = \frac{l}{2}\sqrt {3{{\cos }^2}\varphi  + 1}  \hfill \\
   \hfill \\
  B = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \hfill \\
  B = \frac{{3{l^2}{{\sin }^2}\varphi \sqrt 3 }}{4} \hfill \\
  M = 3\frac{{ah}}{2} \hfill \\
  M = 3\frac{{\sqrt 3 l\sin \varphi \frac{l}{2}\sqrt {3{{\cos }^2}\varphi  + 1} }}{2} \hfill \\
  M = \frac{{3\sqrt 3 {l^2}\sin \varphi }}{4}\sqrt {3{{\cos }^2}\varphi  + 1}  \hfill \\
  P = B + M \hfill \\
  P = \frac{{3{l^2}{{\sin }^2}\varphi \sqrt 3 }}{4} + \frac{{3\sqrt 3 {l^2}\sin \varphi }}{4}\sqrt {3{{\cos }^2}\varphi  + 1}  \hfill \\
  P = \frac{{3\sqrt 3 {l^2}\sin \varphi }}{4}\left( {\sin \varphi  + \sqrt {3{{\cos }^2}\varphi  + 1} } \right) \hfill \\
   \hfill \\
  V = \frac{1}{3}BH \hfill \\
  V = \frac{1}{3}\frac{{3{l^2}{{\sin }^2}\varphi \sqrt 3 }}{4} \cdot l\cos \varphi  \hfill \\
  V = \frac{{{l^3}{{\sin }^2}\varphi  \cdot \cos \varphi \sqrt 3 }}{4} \hfill \\
\end{gathered} \]