Трећи разред средње школе

Пирамида - примери 3

Површина и запремина пирамиде. Четворострана пирамида чија је основа правоугаоник, тространа пирамида чија је основа једнакокраки троугао. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.5)   Основа четворостране пирамиде је правоугаоник страница 18cm и 10cm. Висина пирамиде је 12cm, а подножје висине је пресек дијагонала основе. Израчунати површину и запремину пирамиде.

Пр.6)   Основа пирамиде је једнакокраки троугао чији је крак 7cm, а основица 6cm. Врх пирамиде је од ових страница основе удаљен за дужину која се према висини пирамиде односи 5:4. Израчунати површину и запремину пирамиде.

Пр.5)

5

У овом задатку потребно израчунати површину и запремину пирамиде.

\[\begin{gathered}
  P = B + M \hfill \\
  V = \frac{1}{3}B \cdot H \hfill \\
\end{gathered} \]

Знамо да се подножје висине налази у пресеку дијагонала правоугаоника, односно у центру описаноj кружнице око основе, онда ова пирамида jе права и јој све бочне ивице једнаке. Означимо бочне ивице са $s$.

Бочне стране овоj пирамиде су jеднакокраке троуглове са основицима 18cm и 10cm.

Означимо висине бочне стране са ${h_a}$ и ${h_b}$. Израчунамо ${h_a}$ и ${h_b}$ из правоугли троуглова

\[\begin{gathered}
  h_a^2 = {H^2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} \hfill \\
  h_a^2 = {12^2} + {5^5} \hfill \\
  h_a^2 = 169 \hfill \\
  {h_a} = 13cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  h_b^2 = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
  h_a^2 = {12^2} + {9^5} \hfill \\
  h_a^2 = 225 \hfill \\
  {h_a} = 15cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Сад можемо израчунати површину и запремину пирамиде.

\[\begin{gathered}
  P = B + M \hfill \\
  P = ab + 2 \cdot \frac{{a{h_a}}}{2} + 2\frac{{b{h_b}}}{2} \hfill \\
  P = 18 \cdot 10 + 18 \cdot 13 + 10 \cdot 15 \hfill \\
  P = 564c{m^2} \hfill \\
  V = \frac{1}{3}B \cdot H \hfill \\
  V = \frac{1}{3}abH \hfill \\
  V = \frac{1}{3}18 \cdot 10 \cdot 12 \hfill \\
  V = 720c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.6)

6

Означимо основицу пирамиде са $a=6cm$, а крак са $b=7cm$. Знамо да је врх пирамиде  од свих страница основе једнако удаљен, ово растојање означимо са $h$, а висину пирамиде означимо са $H$, онда можемо записати: $h:H = 5:4$.

Означимо врх пирамиде са $S$, подножиj висине пирамиде са $O$, а бочне висине са $SX$,$SY$ и $SZ$. И уколико сада посматрамо на троуглови $\vartriangle SOX$, $\vartriangle SOY$ и $\vartriangle SOZ$, видићемо да они су подударне (ССУ). Из овога можемо закључити, да страници $OX$, $OY$ и $OZ$ су међусобно једнаке и  једнаке су полупречнику $r$  уписаној кружнице.

Знамо да

\[{P_\Delta } = \frac{{a \cdot {h_a}}}{2} = r \cdot s\]

Из правоуглог троугла можемо израчунати ${h_a}$

\[\begin{gathered}
  h_a^2 = {b^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
  h_a^2 = 40 - 9 \hfill \\
  h_a^2 = \sqrt {40}  \hfill \\
  {h_a} = 2\sqrt {10} cm \hfill \\
\end{gathered} \]

и сад можемо израчунати базу пирамиде

\[\begin{gathered}
  {P_\Delta } = B = \frac{{a \cdot {h_a}}}{2} \hfill \\
  B = \frac{{6 \cdot 2\sqrt {10} }}{2} \hfill \\
  B = 6\sqrt {10} cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Дале ћемо израчунати полуобим троугла $s$

\[\begin{gathered}
  s = \frac{{a + 2b}}{2} \hfill \\
  s = \frac{{6 + 14}}{2} \hfill \\
  s = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Из  једнакости $B = rs$ добијамо $r = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}$.

Из пропорциjе коjа jе дата у задатку \[\begin{gathered}
  5H = 4h \hfill \\
  H = \frac{{4h}}{5} \hfill \\
\end{gathered} \]

Израчунамо $h$ из правоуглог троугла

\[\begin{gathered}
  {h^2} = {H^2} + {r^2} \hfill \\
  {h^2} = {\left( {\frac{{4h}}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} \hfill \\
  {h^2} - {\left( {\frac{{4h}}{5}} \right)^2} = {\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} \hfill \\
  \frac{9}{{25}}{h^2} = \frac{{90}}{{25}} \hfill \\
  {h^2} = 10 \hfill \\
  h = \sqrt {10} cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Онда $H = \frac{{4\sqrt {10} }}{5}cm$

\[\begin{gathered}
  P = B + M \hfill \\
  M = \frac{{ah}}{2} + 2\frac{{bh}}{2} \hfill \\
  M = \frac{{6\sqrt {10} }}{2} + 7\sqrt {10}  \hfill \\
  M = 10\sqrt {10} c{m^2} \hfill \\
  P = 16\sqrt {10} c{m^2} \hfill \\
  V = \frac{1}{3}B \cdot H \hfill \\
  V = \frac{1}{3}6\sqrt {10}  \cdot \frac{{4\sqrt {10} }}{5} \hfill \\
  V = 16c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]