Пирамида - примери 3
Површина и запремина пирамиде. Четворострана пирамида чија је основа правоугаоник, тространа пирамида чија је основа једнакокраки троугао. Сложенији примери.
Задаци
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Пр.5) Основа четворостране пирамиде је правоугаоник страница 18cm и 10cm. Висина пирамиде је 12cm, а подножје висине је пресек дијагонала основе. Израчунати површину и запремину пирамиде.
Пр.6) Основа пирамиде је једнакокраки троугао чији је крак 7cm, а основица 6cm. Врх пирамиде је од ових страница основе удаљен за дужину која се према висини пирамиде односи 5:4. Израчунати површину и запремину пирамиде.
Пр.5)
У овом задатку потребно израчунати површину и запремину пирамиде.
\[\begin{gathered}
P = B + M \hfill \\
V = \frac{1}{3}B \cdot H \hfill \\
\end{gathered} \]
Знамо да се подножје висине налази у пресеку дијагонала правоугаоника, односно у центру описаноj кружнице око основе, онда ова пирамида jе права и јој све бочне ивице једнаке. Означимо бочне ивице са $s$.
Бочне стране овоj пирамиде су jеднакокраке троуглове са основицима 18cm и 10cm.
Означимо висине бочне стране са ${h_a}$ и ${h_b}$. Израчунамо ${h_a}$ и ${h_b}$ из правоугли троуглова
\[\begin{gathered}
h_a^2 = {H^2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} \hfill \\
h_a^2 = {12^2} + {5^5} \hfill \\
h_a^2 = 169 \hfill \\
{h_a} = 13cm \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
h_b^2 = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
h_a^2 = {12^2} + {9^5} \hfill \\
h_a^2 = 225 \hfill \\
{h_a} = 15cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Сад можемо израчунати површину и запремину пирамиде.
\[\begin{gathered}
P = B + M \hfill \\
P = ab + 2 \cdot \frac{{a{h_a}}}{2} + 2\frac{{b{h_b}}}{2} \hfill \\
P = 18 \cdot 10 + 18 \cdot 13 + 10 \cdot 15 \hfill \\
P = 564c{m^2} \hfill \\
V = \frac{1}{3}B \cdot H \hfill \\
V = \frac{1}{3}abH \hfill \\
V = \frac{1}{3}18 \cdot 10 \cdot 12 \hfill \\
V = 720c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.6)
Означимо основицу пирамиде са $a=6cm$, а крак са $b=7cm$. Знамо да је врх пирамиде од свих страница основе једнако удаљен, ово растојање означимо са $h$, а висину пирамиде означимо са $H$, онда можемо записати: $h:H = 5:4$.
Означимо врх пирамиде са $S$, подножиj висине пирамиде са $O$, а бочне висине са $SX$,$SY$ и $SZ$. И уколико сада посматрамо на троуглови $\vartriangle SOX$, $\vartriangle SOY$ и $\vartriangle SOZ$, видићемо да они су подударне (ССУ). Из овога можемо закључити, да страници $OX$, $OY$ и $OZ$ су међусобно једнаке и једнаке су полупречнику $r$ уписаној кружнице.
Знамо да
\[{P_\Delta } = \frac{{a \cdot {h_a}}}{2} = r \cdot s\]
Из правоуглог троугла можемо израчунати ${h_a}$
\[\begin{gathered}
h_a^2 = {b^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
h_a^2 = 40 - 9 \hfill \\
h_a^2 = \sqrt {40} \hfill \\
{h_a} = 2\sqrt {10} cm \hfill \\
\end{gathered} \]
и сад можемо израчунати базу пирамиде
\[\begin{gathered}
{P_\Delta } = B = \frac{{a \cdot {h_a}}}{2} \hfill \\
B = \frac{{6 \cdot 2\sqrt {10} }}{2} \hfill \\
B = 6\sqrt {10} cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Дале ћемо израчунати полуобим троугла $s$
\[\begin{gathered}
s = \frac{{a + 2b}}{2} \hfill \\
s = \frac{{6 + 14}}{2} \hfill \\
s = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Из једнакости $B = rs$ добијамо $r = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}$.
Из пропорциjе коjа jе дата у задатку \[\begin{gathered}
5H = 4h \hfill \\
H = \frac{{4h}}{5} \hfill \\
\end{gathered} \]
Израчунамо $h$ из правоуглог троугла
\[\begin{gathered}
{h^2} = {H^2} + {r^2} \hfill \\
{h^2} = {\left( {\frac{{4h}}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} \hfill \\
{h^2} - {\left( {\frac{{4h}}{5}} \right)^2} = {\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}} \right)^2} \hfill \\
\frac{9}{{25}}{h^2} = \frac{{90}}{{25}} \hfill \\
{h^2} = 10 \hfill \\
h = \sqrt {10} cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Онда $H = \frac{{4\sqrt {10} }}{5}cm$
\[\begin{gathered}
P = B + M \hfill \\
M = \frac{{ah}}{2} + 2\frac{{bh}}{2} \hfill \\
M = \frac{{6\sqrt {10} }}{2} + 7\sqrt {10} \hfill \\
M = 10\sqrt {10} c{m^2} \hfill \\
P = 16\sqrt {10} c{m^2} \hfill \\
V = \frac{1}{3}B \cdot H \hfill \\
V = \frac{1}{3}6\sqrt {10} \cdot \frac{{4\sqrt {10} }}{5} \hfill \\
V = 16c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]