Трећи разред средње школе

Пирамида - примери 2

Решени задаци. Површина и запремина правилне тростране и шестостране пирамиде.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.3)   Израчунати површину и запремину правилне тростране пирамиде, чија је основна ивица 6cm, а бочна страна нагнута према равни основе под углом ${45^ \circ }$.

Пр.4)   Површина омотача правилне шестостране пирамиде је $30\sqrt 3 c{m^2}$, а површина читаве пирамиде је $48\sqrt 3 c{m^2}$.Одреди запремину пирамиде.

Пр.3)

 1

У основи пирамиде налази jеднакостранични троугао, можемо израчунати његову висину ${h_a}$

\[\begin{gathered}
  {h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  {h_a} = 3\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

У правоуглом троуглу $\vartriangle ABC$ катета jе $\frac{1}{3}{h_a} = \sqrt 3 $,  jедан угао jе ${90^ \circ }$, други  jе ${45^ \circ }$, онда и трећи угао jе ${45^ \circ }$. Онда висина пирамиде $H=\sqrt 3 cm$.

Апотема пиамиде ${h}$ jе

\[\begin{gathered}
  {h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{1}{3}{h_a}} \right)^2} \hfill \\
  {h^2} = 3 + 3 \hfill \\
  h = \sqrt 6 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  P = B + M \hfill \\
  P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{ah}}{2} \hfill \\
  P = \frac{{36\sqrt 3 }}{4} + 3\frac{{6\sqrt 6 }}{2} \hfill \\
  P = 9\sqrt 3  + 9\sqrt 6  \hfill \\
  P = 9\left( {\sqrt 3  + \sqrt 6 } \right)c{m^2} \hfill \\
  V = \frac{1}{3}BH \hfill \\
  V = \frac{1}{3}9\sqrt 3  \cdot \sqrt 3  \hfill \\
  V = 9c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)

2

У задатку имамо правилну шестострану пирамиду. Онда у њен основи налази правилан шестоугао. Означимо страницу тог шестоугла са  $a$. За ову пирамиду знамо укупну површину $P$  и површину омотача $M$. Потребно израчунати запремину пирамиде.

\[V = \frac{1}{3}B \cdot H\]

Кад знамо површину пирамиде $P$  и површину омотача $M$ можемо израчунати базу.

\[\begin{gathered}
  P = B + M \hfill \\
  B + P - M \hfill \\
  B = 48\sqrt 3  - 30\sqrt 3  \hfill \\
  B = 18\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Потребна нам jош висина пирамиде $H$. Прво израчунаћемо страницу шестоугла $a$.

Кад смо израчунали базу пирамие, можемо да израчунамо страницу шестоугла $a$.

\[\begin{gathered}
  6 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 18\sqrt 3  \hfill \\
  {a^2} = 12 \hfill \\
  a = 2\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Висину пирамиде $H$ израчунаћемо из правоуглог троугла $\vartriangle O{O_1}{O_2}$

\[{H^2} = {h^2} - h_a^2\]

Знамо да површина омотача je $M = 6 \cdot \frac{{ah}}{2}$ онда можемо израчунати апотему пирамиде $h$:

\[\begin{gathered}
  30\sqrt 3  = 2\sqrt 3  \cdot h \hfill \\
  h = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Дале $h_a$ jе полупречник кружнице коjа jе уписана у правилан шестоугао. Онда jе

\[\begin{gathered}
  {h_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  {h_a} = \frac{{2\sqrt 3  \cdot \sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  {h_a} = 3cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Израчунаћемо висину пирамиде $H$:

\[\begin{gathered}
  {H^2} = {h^2} - h_a^2 \hfill \\
  {H^2} = 25 - 9 \hfill \\
  {H^2} = 16 \hfill \\
  H = 4cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Можемо израчунати запремену пирамиде:

\[\begin{gathered}
  V = \frac{1}{3}B \cdot H \hfill \\
  V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt 3  \cdot 4 \hfill \\
  V = 24\sqrt 3 c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]