Трећи разред средње школе

Пирамида - примери 1

Решени задаци. Површина и запремина правилне четворостране пирамиде.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Израчунати површину и запремину правилне четворостране пирамиде, ако је ивица основе 6cm, а висина износи $\frac{4}{5}h$.

Пр.2)   Бочна ивица правилне четворостране пирамиде дужине 4cm нагнута је према равни основе под углом од ${30^ \circ }$. Израчунати површину и запремину ове пирамиде.

Пр.1)

3

Означимо ивицу основе са $a = 6cm$, висину пирамиде са $H$, а висину бочне стране са $h$.

У правоуглом троуглу $\vartriangle ABC$ 

\[\begin{gathered}
  {h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
  {h^2} = {\left( {\frac{4}{5}h} \right)^2} + 9 \hfill \\
  {h^2} = \frac{{16}}{{25}}{h^2} + 9 \hfill \\
  \frac{9}{{25}}{h^2} = 9 \hfill \\
  {h^2} = 25 \hfill \\
  h = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

\[H = \frac{4}{5} \cdot 5 = 4cm\]

\[\begin{gathered}
  P = B + M \hfill \\
  P = {a^2} + 4\frac{{ah}}{2} \hfill \\
  P = 36 + 2 \cdot 6 \cdot 5 \hfill \\
  P = 96c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  V = \frac{1}{3}BH \hfill \\
  V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 \hfill \\
  V = 48c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)

4

Означимо бочну ивицу пирамиде са $s = 4cm$.

У правоуглом троуглу $\vartriangle OB{O_1}$

\[\begin{gathered}
  \sin {30^ \circ } = \frac{H}{s} \hfill \\
  \frac{1}{2} = \frac{H}{4} \hfill \\
  2H = 4 \hfill \\
  H = 2cm \hfill \\
  \cos {30^ \circ } = \frac{{\frac{d}{2}}}{4} \hfill \\
  \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\frac{d}{2}}}{4} \hfill \\
  d = 4\sqrt 3 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

У основе пирамиде налазе се квадрат, онда

\[\begin{gathered}
  {d^2} = {a^2} + {a^2} \hfill \\
  {d^2} = 2{a^2} \hfill \\
  {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} = 2{a^2} \hfill \\
  48 = 2{a^2} \hfill \\
  {a^2} = 24 \hfill \\
  a = 2\sqrt 6 cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Можемо израчунати висину бочне стране $h$

\[\begin{gathered}
  {h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
  {h^2} = 4 + {\left( {\sqrt 6 } \right)^2} \hfill \\
  {h^2} = 10 \hfill \\
  h = \sqrt {10} cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Сад можемо израчунати површину и запремину ове пирамиде

\[\begin{gathered}
  P = B + M \hfill \\
  P = {a^2} + 4\frac{{ah}}{2} \hfill \\
  P = {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} + 4\sqrt {60}  \hfill \\
  P = 24 + 8\sqrt {15}  \hfill \\
  P = 8\left( {3 + \sqrt {15} } \right)c{m^2} \hfill \\
  V = \frac{1}{3}BH \hfill \\
  V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 \hfill \\
  V = 16c{m^3} \hfill \\
\end{gathered} \]