Трећи разред средње школе

Мешовит производ вектора - примери 3

Израчунавање висине и запремине паралелопипеда помоћу мешовитог производа вектора. Десни триедар.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.6)   Тачке $A\left( { - 1,1,3} \right),B\left( { - 2,2,4} \right)C\left( {3,4,5} \right)D\left( {1, - 1,7} \right)$ су темена паралелопипеда, при чему је теме $C$ теме горње, а $A,B$ и $D$ теме доње основе тог паралелопипеда. Израчунати висину паралелопипеда која одговара темену $C$.

Пр.7)   Вектори $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $ образују десни триедар. Израчунати мешовити производ ових вектора ако је $\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\left| {\overrightarrow c } \right| = 3$, вектор $\overrightarrow c $ је ортогоналан на $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ и угао између $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ је ${30^ \circ }$.

Пр.6)

400 png

\[\begin{gathered}
V = B \cdot H \hfill \\
V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| \hfill \\
B = \left| {\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} } \right| \hfill \\
\overrightarrow {AB} = B - A = \left( { - 1,1,1} \right) \hfill \\
\overrightarrow {AD} = D - A = \left( {2, - 2,4} \right) \hfill \\
\overrightarrow {AC} = C - A = \left( {4,3,2} \right) \hfill \\
V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1&1 \\
2&{ - 2}&4 \\
4&3&2
\end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1} \\
2 \\
4
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{} \\
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
1 \\
{ - 2} \\
3
\end{array}} \right| = \hfill \\
= \left| {4 + 16 + 6 + 8 + 12 - 4} \right| = 42 \hfill \\
B = \left| {\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} } \right| \hfill \\
\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k } \\
{ - 1}&1&1 \\
2&{ - 2}&4
\end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow i } \\
{ - 1} \\
2
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{} \\
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow j } \\
1 \\
{ - 2}
\end{array} = \hfill \\
= 4\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 2\overrightarrow k - 2\overrightarrow k + 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j = 6\overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 0\overrightarrow k = \left( {6,6,0} \right) \hfill \\
B = \left| {\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {{6^2} + {6^2} + {0^2}} = 6\sqrt 2 \hfill \\
V = BH \Rightarrow H = \frac{{42}}{{6\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.7)

401 png

\[\begin{gathered}
\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c \hfill \\
\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\sin \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 6 \cdot 3 \cdot \sin {30^ \circ } = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \hfill \\
\end{gathered} \]

402 png

\[\left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c  = \left| {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right|\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = 9 \cdot 3 = 27\]