Трећи разред средње школе

Аналитчка геометрија, вектори - примери 7

Колинеарност вектора. Линеарна комбинација вектора. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.4)   Дати су вектори $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, $\overrightarrow c $ и $\overrightarrow d $. Испитати да ли су вектори $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $ линеарно независни и изразити вектор $\overrightarrow d $ као линеарну комбинацију вектора $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $ ако је то могуће. \[\overrightarrow a  = \left( {3, - 2,1} \right)\] \[\overrightarrow b  = \left( { - 1,1, - 2} \right)\] \[\overrightarrow c  = \left( {2,1, - 3} \right)\] \[\overrightarrow d  = \left( {11, - 6,5} \right)\]

Пр.4)

\[{D_s} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{ - 2}&1 \\
{ - 1}&1&{ - 2} \\
2&1&{ - 3}
\end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
3 \\
{ - 1} \\
2
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{} \\
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2} \\
1 \\
1
\end{array} = - 9 + 8 - 1 - 2 + 6 + 6 = 8 \ne 0\]

$\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ линеарно независни.

\[\begin{gathered}
\overrightarrow d = \alpha \overrightarrow a + \beta \overrightarrow b + \gamma \overrightarrow c \hfill \\
\left( {11; - 6;5} \right) = \alpha \left( {3; - 2;1} \right) + \beta \left( { - 1;1; - 2} \right) + \gamma \left( {2;1; - 3} \right) = \hfill \\
= \left( {3\alpha ; - 2\alpha ;\alpha } \right) + \left( { - \beta ;\beta ; - 2\beta } \right) + \left( {2\gamma ;\gamma ; - 3\gamma } \right) = \hfill \\
= \left( {3\alpha - \beta + 2\gamma ; - 2\alpha + \beta + \gamma ;\alpha - 2\beta - 3\gamma } \right) \hfill \\
\hfill \\
3\alpha - \beta + 2\gamma = 11 \hfill \\
- 2\alpha + \beta + \gamma = - 6 \hfill \\
\underline {\alpha - 2\beta - 3\gamma = 5} \hfill \\
\alpha - 2\beta - 3\gamma = 5 \hfill \\
- 3\beta - 5\gamma = 4 \hfill \\
\underline {5\beta + 11\gamma = - 4} \hfill \\
\alpha - 2\beta - 3\gamma = 5 \hfill \\
- 3\beta - 5\gamma = 4 \hfill \\
\underline {8\gamma = 8} \hfill \\
\gamma = 1 \hfill \\
- 3\beta - 5 = 4; - 3\beta = 9;\beta = - 3 \hfill \\
\alpha + 6 - 3 = 5;\alpha = 2 \hfill \\
\hfill \\
\overrightarrow d = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \hfill \\
\end{gathered} \]