Правоугли троугао

Дефиниције и решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Израчунати све унутрашње и спољашње углове троугла, ако је

један унутршњи угао ${57^ \circ }$

Пр.2) Ако је један оштар угао правоуглог троугла ${22^ \circ }$ већи од

другог, израчунати унутрашње углове тог троугла.

Пр.3) Ако је један оштар угао правоуглог троугла седам пута већи

од другог, израчунати унутрашње углове тог троугла.

Пр.4) Симетрала правог угла правоуглог троугла заклапа са хипотенузом

угао од ${58^ \circ }$ . Израчунати унутрашње углове тог троугла.

Пр.5) Симетрала правог и једног оштрог угла правоуглог троугла

заклапају угао од ${112^ \circ }30'$ . Израчунати унутрашње углове

тог троугла. Осим што је правоугли, којој још врсти троуглова

припада дати троугао?

Пр.1)

557 png

Пр.2)

558 png

Пр.3)

559 png

Пр.4)

560 png

Пр.5)

561 png

$\vartriangle ADC$
$\frac{\alpha }{2} + {45^ \circ } + {112^ \circ }30' = {180^ \circ }$
$\frac{\alpha }{2} = {180^ \circ } - {157^ \circ }30'$
$\alpha = {22^ \circ }30' \cdot 2$
$\alpha = {45^ \circ }$
$\alpha + \beta = {90^ \circ }$
${45^ \circ } + \beta = {90^ \circ }$
$\beta = {45^ \circ }$
$\alpha = \beta$
$a = b$

Правоугли троугао има један прав угао, обично $\gamma = 90^\circ$ код темена $C$ . Странице уз прав угао су катете $a$ и $b$ , а наспрам правог угла лежи хипотенуза $c$ , најдужа страница. Оштри углови заједно чине прав угао: $\alpha + \beta = 90^\circ$ , па из једног одмах следи други, на пример $\beta = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$ .

Спољашњи угао код правог угла је такође $90^\circ$ , а код оштрог $\alpha_1 = 90^\circ + \beta$ . Задаци са везом међу угловима решавају се преко $\alpha + \beta = 90^\circ$ : ако је $\alpha = 7\beta$ , онда је $8\beta = 90^\circ$ и $\beta = 11^\circ 15'$ . Симетрала правог угла дели га на два угла од $45^\circ$ , што је кључ задатака са симетралама.

α + β: 90°
Хипотенуза c: 5,39
Дужа катета: 5

Подножје

A

клизи по тлу, а врх

B

по зиду. Колико год се

\alpha

мењао, збир

\alpha + \beta

остаје

90^\circ

, а хипотенуза

c

је увек најдужа страница.

Правоугли троугао граде мердевине наслоњене на зид, рампа за колица и кровна косина са усправним зидом, па грађевинари и мајстори из једног оштрог угла одмах знају други.

Мердевине уз зид

Мердевине су наслоњене на зид куће, а зид је нормалан на тло. Мердевине са тлом граде угао од $68^\circ$ . Колики угао граде са зидом? Колики је спољашњи угао троугла код подножја мердевина?

Решење

Зид, тло и мердевине чине правоугли троугао; прав угао је између зида и тла.
Оштри углови заједно дају $90^\circ$ , па је угао са зидом $\beta = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$ .
Спољашњи угао код подножја: $\alpha_1 = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$ , што је и $90^\circ + 22^\circ$ .

Одговор: Мердевине са зидом граде угао од $22^\circ$ , а спољашњи угао код подножја је $112^\circ$ .

Задатак за вежбу

Један оштар угао правоуглог троугла је за $24^\circ$ већи од другог. Израчунајте оштре углове.

Прикажи решење

$\beta + 24^\circ + \beta = 90^\circ$ , па је $2\beta = 66^\circ$ , $\beta = 33^\circ$ и $\alpha = 57^\circ$ .