Први разред средње школе

Скупови - пример 2

Доказивање сложеније скуповне једнакости

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Реши скуповну једнакост:

Пр.2   $A\backslash \left( {B \cup C} \right) = \left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {A\backslash C} \right)$

Скуповне једнакостi решавамо тако што их преводимо у исказне формуле а затим показуjемо да су те формуле таутологије. Према дефеницији једнакости скупова, два скупа су једнакa ако и само ако за свако x ако x припада jедном скупу то је еквивалентно да  x припада и другом скупу

 \[\left( {\forall х } \right)\left( {х \in \left( {А\backslash \left( {B \cup C} \right)} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {x \in \left( {\left( {А\backslash B} \right) \cap \left( {A\backslash C} \right)} \right)} \right)\]

\[\left( {\forall x} \right)\left( {x \in A \wedge x \notin \left( {B \cup C} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {x \in \left( {А\backslash B} \right) \wedge x \in \left( {A\backslash C} \right)} \right)\]

\[\left( {\forall х} \right)\left( {х \in A \wedge \neg \left( {x \in \left( {B \cup C} \right)} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \wedge \left( {x \in A \wedge \left( {x \notin C} \right)} \right)} \right)\]

\[\begin{gathered}
\left( {\forall х} \right)\left( {х \in A \wedge \neg \left( {x \in B \vee x \in C} \right)} \right) \Leftrightarrow \hfill \\
\Leftrightarrow \left( {\left( {x \in A \wedge \neg \left( {x \in B} \right)} \right) \wedge \left( {x \in A \wedge \neg \left( {x \in C} \right)} \right)} \right) \hfill \\
\end{gathered} \]

Ако са p означимо $x \in A$,са q - $x \in B$ и са r - $x \in C$, на оваj начин нашу скуповну једнакост преводимо у исказну форму, имамо   \[\left( {p \wedge \neg \left( {q \vee r} \right)} \right) \Leftrightarrow \left( {\left( {p \wedge \neg q} \right) \wedge \left( {p \wedge \neg r} \right)} \right)\]

Показуjемо да добиjена формула таутологиjа табличнoм методом.

Са A означимо $p \wedge \neg q$, са B  означимо $p \wedge \neg r$, са С означимо $p \wedge \neg \left( {q \vee r} \right)$ и са D означимо $\left( {p \wedge \neg q} \right) \wedge \left( {p \wedge \neg r} \right)$

$p$ $q$ $r$ $¬q$ $¬r$ $q\vee r$ $\neg\left( {q \vee r} \right)$ $C$ $A$ $B$ $D$ $C \Leftrightarrow D$
$\top$ $\top$ $\top$ $\bot $ $\bot $ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$
$\top$ $\top$ $\bot $ $\bot $ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\top$
$\top$ $\bot $ $\top$ $\top$ $\bot $ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$
$\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot $ $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\top$
$\bot$ $\top$ $\top$ $\bot $ $\bot $ $\top$ $\bot $ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$
$\bot$ $\top$ $\bot$ $\bot $ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$
$\bot$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot $ $\top$ $\bot $ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$
$\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$

 Наша формула jе тачна за све вредности исказних слова, односно она jе таутологиjа. Ми смо показали да jе исказна формула таутологиja, односно наша скуповна jеднакост jе тачна.