Први разред средње школе

Реални бројеви 3

Дељивост у скупу реалних бројева. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1   Наћи највећи природни број којим треба понможити 5880 да би се

          добио: а) квадрат природног броја,

                     б) куб природног броја.

Пр.2   Доказати да је број ${m^3} - m$ дељив са 6 за сваки цео број $m$.

Пр.3   Доказати да је кбадрат непарног броја, умањен за 1, дељив са 8.

Пр.1

а)Нека jе x броj коjи треба да се добиjе. Онда његов квадрат садржи као делиоце квадрате своjих простих чиниоца.

\[5880 \cdot \_\_ = x^2\]

Раставићемо броj 5880 на просте чиниоце:

\[5880 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot {7^2}\]

\[{2^2} \cdot {7^2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left( {2 \cdot 3 \cdot 5} \right) = {\left( {{2^2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} \right)^2}\]

Тражени броj jе  \[2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\]

б) $5880 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot {7^2}$

${2^3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot {7^2} \cdot \left( {{3^2} \cdot {5^2} \cdot 7} \right) = {\left( {2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} \right)^3}$

${3^2} \cdot {5^2} \cdot 7 = 9 \cdot 25 \cdot 7 = 1575$

Пр.2

\[\begin{gathered}
\left. 6 \right|m \cdot \left( {m - 1} \right) \hfill \\
\left. 6 \right|m \cdot \left( {m - {1^2}} \right) \hfill \\
\left. 6 \right|m \cdot \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) \hfill \\
\left. 6 \right|\left( {m - 1} \right)m \cdot \left( {m + 1} \right) \hfill \\
\end{gathered} \]

$\left( {m - 1} \right)m \cdot \left( {m + 1} \right)$ - производ три узастопна броjа, а производ три узастопна  цела броjа jе дељив са 2 и са 3, то jе и ${m^3} - m$ дељиво са 6.

Пр.3 Ми доказуемо \[\left. 8 \right|\left( {2n + 1} \right) - 1\]

\[\begin{gathered}
\left. 8 \right|\left( {2n + 1} \right) - {1^2} \hfill \\
\left. 8 \right|\left( {2n + 1 - 1} \right)\left( {2n + 1 + 1} \right) \hfill \\
\left. 8 \right|2n\left( {2n + 2} \right) \hfill \\
\left. 8 \right|4n\left( {n + 1} \right) \hfill \\
\end{gathered} \]

$n\left( {n + 1} \right)$ - производ два узастопна броjа, тада jе дељив са 2. Односно броj $4n\left( {n + 1} \right)$ - дељив са 2 и са 4, односно дељив са 8.