Први разред средње школе

Ирационални бројеви

Примери доказивања ирационалности неких бројева.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.7   Доказати да је $\sqrt 2 $ ирационалан број.

Пр.8   Ако знамо да је $\sqrt 2 $ ирационалан број, доказати да је $\sqrt 5  - \sqrt 2 $

          такође ирационалан број.

Пр.9   Ако знамо да је $\sqrt 3 $ ирационалан број, доказати да је тада

          ${\left( {\sqrt 3  - 2} \right)^2}$ такође ирационалан број.

Пр.7 Претпоставимо супротно, да постоји рационалан број такав да је \[{\left( {\frac{p}{q}} \right)^2} = 2\] и да су р и q узајамно прости природни бројви. Тада је \[{p^2} = 2{q^2}\] па jе \[{p^2}\] паран  број, одакле  и  р je паран број, \[p = 2k,k \in {\rm N}\]

Сада из \[{p^2} = 2{q^2}\] следи \[{q^2} = 2{k^2}\] значи да jе и q паран број, па р и q нису узаjамно прости.

Пр.8 Претпоставимо супротно, да 

\[\begin{gathered}
\sqrt 5 - \sqrt 2 \notin {\rm I} \hfill \\
\sqrt 5 - \sqrt 2 \in Q \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
\sqrt 5 - \sqrt 2 = q,q \in Q \hfill \\
\sqrt 5 = q + \sqrt 2 \hfill \\
{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = \left( {q + \sqrt 2 } \right) \hfill \\
5 = {q^2} + 2q\sqrt 2 + 2 \hfill \\
2q\sqrt 2 = 5 - {q^2} - 2 \hfill \\
2q\sqrt 2 = 3 - {q^2} \hfill \\
\sqrt 2 = \frac{{3 - {q^2}}}{{2q}} \in Q \hfill \\
\end{gathered} \]

а то jе лаж.

Пр.9 Претпоставимо супротно, да 

\[\begin{gathered}
{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)^2} \notin {\rm I}, \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 - 2} \right)^2} \in Q \hfill \\
{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)^2} = q,q \in Q \hfill \\
{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2 \cdot 2\sqrt 3 + {2^2} = q \hfill \\
3 - 4\sqrt 3 + 4 = q \hfill \\
7 - 4\sqrt 3 = q \hfill \\
7 = q + 4\sqrt 3 \hfill \\
{7^2} = {\left( {q + 4\sqrt 3 } \right)^2} \hfill \\
49 = {q^2} + 2q4\sqrt 3 + {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} \hfill \\
49 = {q^2} + 8q\sqrt 3 + 48 \hfill \\
8q\sqrt 3 = 49 - {q^2} - 48 \hfill \\
8q\sqrt 3 = 1 - {q^2} \hfill \\
\sqrt 3 = \frac{{1 - {q^2}}}{{8q}} \in Q \hfill \\
\end{gathered} \]

а то jе лаж.