Талесова теорема 2

Талесова теорема и њена примена. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1) Израчунати дужину дужи $SD$ (са слике)

ако је $AB\parallel CD$ и:

а) $SC = 6cm,CA = 3cm,BC = 6cm$

б) $SA = 7cm,BD = 1,4dm,SC = 2SA$

в) $SA = 6cm,AC = 0,4dm,SB = 0,09m$

Пр.2) У троуглу $ABC$ дуж $DE$ је паралелна страници $AB$ (види слику).

tal2 2

Израчунати:

а) дужину дужи $BC$ ако је $AC = 12cm,CD = 4cm,CE = 8cm$

б) дужину дужи $BE$ ако је $AC = 15cm,AD = 3cm,BC = 25cm$ .

Пр.3) Дужи $AB$ и $CD$ са слике су паралелне.

tal2 3

Израчунати дужину дужи $BM$ и $CM$ .

Пр.1) Оваj задатак решавам применом Талесове теореме.

а) имамо $SC = 6cm,CA = 3cm,BC = 6cm$ . Потребно израчунати дужину дужи $SD$ . tal1a

Саставимо пропорциjу:

$\begin{aligned}&SD:SC = BD:AC \\ &SD:6 = 6:3 \\ &3 \cdot SD = 6 \cdot 6 \\ &SD = \frac{{6 \cdot 6}}{3} \\ &SD = 12cm\end{aligned}$

б) Имамо $SA = 7cm,BD = 1,4dm,SC = 2SA$

Израчунамо прво $BD = 1,4dm = 14cm$ и $SC{\text{ }} = {\text{ }}2SA = 2 \cdot 7 = 14cm$ . Онда израчунамо $AC{\text{ }} = 14- 7 = 7cm$ .

Саставимо пропорциjу:

$\begin{aligned}&SD:SC = BD:AC \\ &SD:14 = 14:7 \\ &7 \cdot SD = 14 \cdot 14 \\ &SD = \frac{{14 \cdot 14}}{7} \\ &SD = 28cm\end{aligned}$

в) Имамо $SA = 6cm,AC = 0,4dm,SB = 0,09m$

Саставимо пропорциjу:

$\begin{aligned}&SD:SC = SB:SA \\ &SD:10 = 9:6 \\ &6 \cdot SD = 10 \cdot 9 \\ &SD = \frac{{10 \cdot 9}}{6} \\ &SD = 15cm\end{aligned}$

Пр.2) У троуглу $ABC$ дуж $DE$ је паралелна страници $AB$ . Оваj задатак решавам применом Талесове теореме.

а)

$\begin{aligned}&AC:CB = CB:CE \\ &12:CB = 4:8 \\ &4 \cdot CB = 12 \cdot 8 \\ &CB = \frac{{12 \cdot 8}}{4} \\ &CB = 24cm\end{aligned}$

б)

2b2

$\begin{aligned}&AC:CB = AD:BE \\ &15:25 = 3:BE \\ &15 \cdot BE = 25 \cdot 3 \\ &BE = \frac{{25 \cdot 3}}{{15}} \\ &BE = 5cm\end{aligned}$

Пр.3) Дужи $AB$ и $CD$ са слике су паралелне.

tal2 3

Из овог података $\measuredangle MDC = \measuredangle MBA,\measuredangle MAB = \measuredangle MCD$ (унутрашњи углови). Онда $\vartriangle MDC \sim \vartriangle MBA$ .

3vv

Из сличности троуглова следи да одговараjуће странице су пропорционалне.

$\begin{aligned}&CD:AB = CM:AM \\ &1,5:6 = CM:4 \\ &6 \cdot CM = 4 \cdot 1,5 \\ &CM = \frac{{4 \cdot 1,5}}{6} \\ &SD = 1cm\end{aligned}$

$\begin{aligned}&CD:AB = DM:BM \\ &1,5:6 = 2:BM \\ &1,5 \cdot BM = 2 \cdot 6 \\ &BM = \frac{{2 \cdot 6}}{{1,5}} \\ &SD = 8cm\end{aligned}$

Талесову теорему примењујете на три слике. Прва: две праве из тачке $S$ пресечене паралелама $AB$ и $CD$ , где важи $SA : SC = SB : SD$ . Друга: у троуглу $ABC$ дуж $DE$ паралелна је страници $AB$ , па је $CD : CA = CE : CB$ . Трећа: паралелне дужи $AB$ и $CD$ са различитих страна пресечне тачке $M$ , где су троуглови $MAB$ и $MCD$ слични и $CD : AB = CM : AM = DM : BM$ .

У сваком задатку прво нађите паралелне дужи и тачку у којој се секу праве. Ако су дужине у различитим јединицама (dm, m), претворите их у центиметре пре него што поставите пропорцију. Кад је дат збир или разлика одсечака, прво израчунајте одсечак који улази у пропорцију.

Од кочића M до тачке D10 m

BM : MD: 4
TB : DE: 4
Израчуната ширина реке: 30 m

Што даље од кочића

M

скренете, то је дуж

DE

дужа, али однос

TB : DE

увек је једнак

BM : MD

. Зато рачун увек даје исту ширину реке. Једно поље мреже је 5 m.

Ширину реке, јаруге или језера геометри мере без пливања: обележе неколико тачака на својој обали и из сличних троуглова израчунају растојање до тачке на другој обали. На истом принципу раде и оптички даљиномери.

Ширина реке

На другој обали реке, тачно наспрам тачке $B$ на овој обали, расте дрво $T$ . Од $B$ ходамо дуж обале 40 m до кочића $M$ , па још 10 m до тачке $D$ . Из $D$ скрећемо под правим углом од реке и идемо док нам кочић $M$ и дрво $T$ не буду на истој правој; то је тачка $E$ , а $DE = 7{,}5$ m. Колико је река широка?

Решење

Дужи $TB$ и $DE$ су нормалне на обалу, па су паралелне. Праве $TE$ и $BD$ секу се у тачки $M$ , а $TB$ и $DE$ су са различитих страна тачке $M$ .
Троуглови $MBT$ и $MDE$ су слични, па важи $TB : DE = BM : MD$ .
Уврстимо: $TB : 7{,}5 = 40 : 10$ , па је $TB = \frac{7{,}5 \cdot 40}{10} = 30$ m.

Одговор: Река је широка 30 m.

Задатак за вежбу

У троуглу $ABC$ дуж $DE$ паралелна је страници $AB$ (тачка $D$ је на $AC$ , а $E$ на $BC$ ). Ако је $CD = 6$ cm, $DA = 4$ cm и $CE = 9$ cm, израчунајте $EB$ и $BC$ .

Прикажи решење

Из $CD : DA = CE : EB$ је $6 : 4 = 9 : EB$ , па је $EB = \frac{4 \cdot 9}{6} = 6$ cm и $BC = 9 + 6 = 15$ cm.