Осми разред основне школе

Сличност троуглова - понављање

Сличност троуглова. Понављање градива, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Дата је дуж $AB = 6,5cm$.

           а) Поделити дату дуж на 5 једнаких делова.

           б) Поделити дату дуж у размери 4:1.

           в) Одредити $\frac{3}{5}AB$

Пр.2)   У троуглу $KLM$ са слике је $ML\parallel NP$.

           а) Ако је $MN = 7cm,KM = 21cm$ и $KP = 10cm$, израчунати $LP$.

           б) Ако је $KM = 2,5dm,KN = KL$ и $KP = 4cm$, израчунати $KL$.
Пр.3)   Странице троугла $ABC$ су $a = 20cm,c = 16cm$. Странице њему сличног троугла ${A_1}{B_1}{C_1}$ су ${b_1} = 21cm$, ${c_1} = 11,2cm$. Одредити странице $b$ и ${a_1}$.
Пр.4)   У правоуглом троуглу $ABC$ катете су $a = 3cm$ и $b = 4cm$. Израчунати дужину хипотенусе $c$, његове висине ${h_c}$, као и дужину одсечка $p$ и $q$ на које та висина дели хипотенузу.

Пр.1)   Дата је дуж $AB = 6,5cm$.

а) Потребно поделити дату дуж на 5 једнаких делова.

8a

Нацртаћемо дуж $AB = 6,5cm$. Констуишемо помоћну полуправу $Aр$ и на њој (произвољно) одредимо тачку ${A_1}$, а затим и тачке ${A_2},{A_3},{A_4},{A_5},$ тако да је \[A{A_1} = {A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4} = {A_4}{A_5}.\] Затим кроз тачке

${A_1},{A_2},{A_3},{A_4},{A_5}$ конструишемо праве паралелне прави ${B,A_5}$. Те праве секу дуж $AB$ тачкама које је деле на пет једнаких делова.

б) Ако дуж треба поделити у размери $a:b(a,b \in N)$, најпре је треба поделити на $a+b$ једнаких делова, па изабрати одговарајућу тачку те дужи која је $a$ делова удаљена од једног краја и $b$ делова од другог краја дужи.

У овом задатку потребно поделити дату дуж у размери 4:1. Поступамо као у претходном примеру, али није потребно повлачити све паралеле, права која садржи тачку ${A_4}$ сече дуж $AB$ у траженој тачки.

8b

$AM:MB = 4:1$

в) Поступамо као у претходном примеру, али овде је потребно одредити само дуж дужине $\frac{3}{5}AB$.

8v

 

$AM = \frac{3}{5}AB$

Пр.2)  а)

9a

Прво израчунамо дуж $KN$.\[KN = 21 - 7 = 14cm\]

Знамо да је $ML\parallel NP$ онда можемо користити Талесову теорему. Запишемо одговарајућу пропорцију:

\[\begin{gathered}
  KN:KP = NM:LP \hfill \\
  14:10 = 7:LP \hfill \\
  LP \cdot 14 = 10 \cdot 7 \hfill \\
  LP = \frac{{10 \cdot 7}}{{14}} \hfill \\
  LP = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

  б)

9b

\[\begin{gathered}
  KM = 2,5dm = 25cm \hfill \\
  KN:KP = KM:KL \hfill \\
  x:4 = 25:x \hfill \\
  {x^2} = 100 \hfill \\
  x = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.3)   Странице троугла $ABC$ су $a = 20cm,c = 16cm$. Странице њему сличног троугла ${A_1}{B_1}{C_1}$ су ${b_1} = 21cm$, ${c_1} = 11,2cm$. Одредити странице $b$ и ${a_1}$.
Знамо да су $\vartriangle ABC \sim \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$. Онда можемо да запишем пропорцију:
\[\begin{gathered}
  \frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} \hfill \\
  \frac{{20}}{{{a_1}}} = \frac{b}{{21}} = \frac{c}{{11,2}} \hfill \\
\end{gathered} \]
\[\begin{gathered}
  b:21 = 16:11,2 \hfill \\
  b = \frac{{21 \cdot 16}}{{11,2}} \hfill \\
  b = 30cm \hfill \\
  20:{a_1} = 30:21 \hfill \\
  {a_1} = \frac{{21 \cdot 20}}{{30}} \hfill \\
  {a_1} = 14cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4) У правоуглом троуглу $ABC$ висина $h_c$ дели хипотенузу на два одсечка $p$ и $q$, онда можемо записати $p + q = c$ 

10

Израчунати дужину хипотенузе $c$ у правоуглом троуглу $ABC$ можемо према Питагориној теореми.

\[\begin{gathered}
  {c^2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\
  {c^2} = {3^2} + {4^2} \hfill \\
  {c^2} = 9 + 16 \hfill \\
  {c^2} = 25 \hfill \\
  c = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]

Висину ${h_c}$ можемо добити на основу површине

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  \begin{gathered}
  P = \frac{{ab}}{2} \hfill \\
  P = \frac{{3 \cdot 4}}{2} \hfill \\
  P = 6c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
  P = \frac{{c \cdot {h_c}}}{2} \hfill \\
  6 = \frac{{5 \cdot {h_c}}}{2} \hfill \\
  {h_c} = \frac{{12}}{5} = 2,4cm \hfill \\
   \hfill \\
\end{gathered}  
\end{array}\]

Имамо формулу:

\[\begin{gathered}
  {b^2} = q \cdot c \hfill \\
  {4^2} = q \cdot 5 \hfill \\
  16 = q \cdot 5 \hfill \\
  q = 3,2cm \hfill \\
  c = p + q \hfill \\
  5 = p + q \hfill \\
  p = 5 - 3,2 \hfill \\
  p = 1,8cm \hfill \\
\end{gathered} \]