Сличност троуглова - понављање
Сличност троуглова. Понављање градива, решени задаци.
Задаци
Текст задатака објашњених у видео лекцији:
Пр.1) Дата је дуж $AB = 6,5cm$.
а) Поделити дату дуж на 5 једнаких делова.
б) Поделити дату дуж у размери 4:1.
в) Одредити $\frac{3}{5}AB$
Пр.2) У троуглу $KLM$ са слике је $ML\parallel NP$.
а) Ако је $MN = 7cm,KM = 21cm$ и $KP = 10cm$, израчунати $LP$.
б) Ако је $KM = 2,5dm,KN = KL$ и $KP = 4cm$, израчунати $KL$.Пр.3) Странице троугла $ABC$ су $a = 20cm,c = 16cm$. Странице њему сличног троугла ${A_1}{B_1}{C_1}$ су ${b_1} = 21cm$, ${c_1} = 11,2cm$. Одредити странице $b$ и ${a_1}$.Пр.4) У правоуглом троуглу $ABC$ катете су $a = 3cm$ и $b = 4cm$. Израчунати дужину хипотенусе $c$, његове висине ${h_c}$, као и дужину одсечка $p$ и $q$ на које та висина дели хипотенузу.Пр.1) Дата је дуж $AB = 6,5cm$.
а) Потребно поделити дату дуж на 5 једнаких делова.
Нацртаћемо дуж $AB = 6,5cm$. Констуишемо помоћну полуправу $Aр$ и на њој (произвољно) одредимо тачку ${A_1}$, а затим и тачке ${A_2},{A_3},{A_4},{A_5},$ тако да је \[A{A_1} = {A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4} = {A_4}{A_5}.\] Затим кроз тачке
${A_1},{A_2},{A_3},{A_4},{A_5}$ конструишемо праве паралелне прави ${B,A_5}$. Те праве секу дуж $AB$ тачкама које је деле на пет једнаких делова.
б) Ако дуж треба поделити у размери $a:b(a,b \in N)$, најпре је треба поделити на $a+b$ једнаких делова, па изабрати одговарајућу тачку те дужи која је $a$ делова удаљена од једног краја и $b$ делова од другог краја дужи.
У овом задатку потребно поделити дату дуж у размери 4:1. Поступамо као у претходном примеру, али није потребно повлачити све паралеле, права која садржи тачку ${A_4}$ сече дуж $AB$ у траженој тачки.
$AM:MB = 4:1$
в) Поступамо као у претходном примеру, али овде је потребно одредити само дуж дужине $\frac{3}{5}AB$.
$AM = \frac{3}{5}AB$
Пр.2) а)
Прво израчунамо дуж $KN$.\[KN = 21 - 7 = 14cm\]
Знамо да је $ML\parallel NP$ онда можемо користити Талесову теорему. Запишемо одговарајућу пропорцију:
\[\begin{gathered}
KN:KP = NM:LP \hfill \\
14:10 = 7:LP \hfill \\
LP \cdot 14 = 10 \cdot 7 \hfill \\
LP = \frac{{10 \cdot 7}}{{14}} \hfill \\
LP = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]
б)
KM = 2,5dm = 25cm \hfill \\
KN:KP = KM:KL \hfill \\
x:4 = 25:x \hfill \\
{x^2} = 100 \hfill \\
x = 10cm \hfill \\
\end{gathered} \]Пр.3) Странице троугла $ABC$ су $a = 20cm,c = 16cm$. Странице њему сличног троугла ${A_1}{B_1}{C_1}$ су ${b_1} = 21cm$, ${c_1} = 11,2cm$. Одредити странице $b$ и ${a_1}$.Знамо да су $\vartriangle ABC \sim \vartriangle {A_1}{B_1}{C_1}$. Онда можемо да запишем пропорцију:\[\begin{gathered}
\frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} \hfill \\
\frac{{20}}{{{a_1}}} = \frac{b}{{21}} = \frac{c}{{11,2}} \hfill \\
\end{gathered} \]\[\begin{gathered}
b:21 = 16:11,2 \hfill \\
b = \frac{{21 \cdot 16}}{{11,2}} \hfill \\
b = 30cm \hfill \\
20:{a_1} = 30:21 \hfill \\
{a_1} = \frac{{21 \cdot 20}}{{30}} \hfill \\
{a_1} = 14cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.4) У правоуглом троуглу $ABC$ висина $h_c$ дели хипотенузу на два одсечка $p$ и $q$, онда можемо записати $p + q = c$
Израчунати дужину хипотенузе $c$ у правоуглом троуглу $ABC$ можемо према Питагориној теореми.
\[\begin{gathered}
{c^2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\
{c^2} = {3^2} + {4^2} \hfill \\
{c^2} = 9 + 16 \hfill \\
{c^2} = 25 \hfill \\
c = 5cm \hfill \\
\end{gathered} \]
Висину ${h_c}$ можемо добити на основу површине
\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
P = \frac{{ab}}{2} \hfill \\
P = \frac{{3 \cdot 4}}{2} \hfill \\
P = 6c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} &\begin{gathered}
P = \frac{{c \cdot {h_c}}}{2} \hfill \\
6 = \frac{{5 \cdot {h_c}}}{2} \hfill \\
{h_c} = \frac{{12}}{5} = 2,4cm \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]
Имамо формулу:
\[\begin{gathered}
{b^2} = q \cdot c \hfill \\
{4^2} = q \cdot 5 \hfill \\
16 = q \cdot 5 \hfill \\
q = 3,2cm \hfill \\
c = p + q \hfill \\
5 = p + q \hfill \\
p = 5 - 3,2 \hfill \\
p = 1,8cm \hfill \\
\end{gathered} \]