Сличност троуглова

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Странице троугла су $a = 6cm,b = 9cm$ и $c = 12cm$. Одредити странице њему сличног троугла ако је коефицијент сличности $k = 1,5$.

Пр.2)   Странице троугла су $a = 12cm,b = 15cm$ и $c = 18cm$. Одредити странице њему сличног троугла чији је обим 60cm.

Пр.3)   Хипотенуза правоуглог троугла је 15cm, а једна катета је 12cm. Одредити обим и површину њему сличног троугла чија је најкраћа страница 6cm.

Пр.4) Основице трапеза су $a = 18cm,b = 16cm$, а висина је $h = 12cm$. Одредити висину већег троугла коjи се добиjа продужавањем кракова тог трапеза.

Пр.1) Знамо да су ова два троугла слични, онда

$$\frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} = k$$

$$\begin{aligned}&\frac{a}{{{a_1}}} = k \\ &\frac{6}{{{a_1}}} = 1,5 \\ &{a_1} = \frac{6}{{1,5}} \\ &{a_1} = 4cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&\frac{b}{{{b_1}}} = k \\ &\frac{9}{{{b_1}}} = 1,5 \\ &{b_1} = \frac{9}{{1,5}} \\ &{b_1} = 6cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&\frac{c}{{{c_1}}} = k \\ &\frac{{12}}{{{c_1}}} = 1,5 \\ &{c_1} = \frac{{12}}{{1,5}} \\ &{c_1} = 8cm\end{aligned}$$

Пр.2)   Тражимо странице ${a_1},{b_1},{c_1}$ сличног троугла чији је обим ${O_1} = 60cm$. Да би ми могли искористити jеднакост

$$\frac{a}{{{a_1}}} = \frac{b}{{{b_1}}} = \frac{c}{{{c_1}}} = \frac{O}{{{O_1}}} = k$$

потребно израчунати обим $O$.

$$O = a + b + c = 12 + 15 + 18 = 45cm$$

$$\begin{aligned}&a:{a_1} = O:{O_1} \\ &12:{a_1} = 45:60 \\ &45{a_1} = 12 \cdot 60 \\ &{a_1} = \frac{{12 \cdot 60}}{{45}} \\ &{a_1} = 16cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&b:{b_1} = O:{O_1} \\ &15:{b_1} = 45:60 \\ &45{b_1} = 15 \cdot 60 \\ &{b_1} = \frac{{15 \cdot 60}}{{45}} \\ &{b_1} = 20cm\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&{O_1} = {a_1} + {b_1} + {c_1} \\ &60 = 16 + 20 + {c_1} \\ &{c_1} = 60 - 36 \\ &{c_1} = 24cm\end{aligned}$$

Пр.3)  Означимо хипотенузу правоуглог троугла са $c = 15cm$, а једну катету са $a = 12cm$. Потребно одредити обим и површину њему сличног троугла чија је најкраћа страница 6cm.

Израчунаћемо катету $b$

$$\begin{aligned}&{b^2} = {c^2} - {a^2} \\ &b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} \\ &b = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} \\ &b = \sqrt {225 - 144} \\ &b = 9cm\end{aligned}$$

Најкраћа страница овог троугла jе страница $b$. Онда одговараjућа страница њему сличног троугла је страница $b_1 = 6cm$. Одредимо другу катету $a_1$ и хипотенузу $h_1$ сличног троугла.

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&a:{a_1} = b:{b_1} \\ &12:{a_1} = 9:6 \\ &9{a_1} = 12 \cdot 6 \\ &{a_1} = \frac{{12 \cdot 6}}{9} \\ &{a_1} = 8cm\end{aligned} &\begin{aligned}&a:{a_1} = c:{c_1} \\ &12:8 = 15:{c_1} \\ &12{c_1} = 15 \cdot 8 \\ &{c_1} = \frac{{15 \cdot 8}}{{12}} \\ &{c_1} = 10cm\end{aligned} \end{array}$$

Треба нам обим $О_1$ и површина $P_1$.

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \begin{aligned}&{O_1} = {a_1} + {b_1} + {c_1} \\ &{O_1} = 8 + 6 + 10 \\ &{O_1} = 24cm\end{aligned} &\begin{aligned}&{P_1} = \frac{{{a_1} \cdot {b_1}}}{2} \\ &{P_1} = \frac{{6 \cdot 8}}{2} \\ &{P_1} = 24cm\end{aligned} \end{array}$$

Пр.4) Повуцимо из тачке $D$ паралелно са краком $BC$ дуж $DF$ кој ће ићи на оновицу до 18cm.

Добили смо $FBCD$ паралелограм, онда $FB=CD=16cm$.

Можемо израчунати дужину дуже $AF=18-16=2cm$.

Троуглове $\vartriangle ABC \sim \vartriangle AFD$ су сличне. Онда одговараjуће странице и висине пропорционалне.

$$\begin{aligned}&AB:AF = {h_1}:h \\ &18:2 = {h_1}:12 \\ &2 \cdot {h_1} = 18 \cdot 12 \\ &{h_1} = \frac{{18 \cdot 12}}{2} \\ &{h_1} = 108cm\end{aligned}$$