Осми разред основне школе

Решавање линеарних неједначина са једном непознатом 4

Линеарне неједначине које у себи садрже квадрат бинома, заједничко решење две неједначине.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1) Решити неједначине:

а) ${\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} < 12 - x$

б) ${\left( {x - 4} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} < 3\left( {x - 9} \right)$

в) $3x\left( {3x - 4} \right) - {\left( {3x + 1} \right)^2} < - 1$

г) $4\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 5} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 12 - 2{\left( {x - 1} \right)^2}$

Пр.2) Одредити заједнички скуп решења следећих неједначина:

а) $2x - 1 \geqslant 0$ и $x - 4 < 0$

б) $3\frac{{3x}}{2} > \frac{5}{8} - \frac{{4x - 3}}{6}$ и $2x\left( {x - 5} \right) - 27 \leqslant 2{\left( {x + 1} \right)^2}$

Пр.3) Одреди све целе бројеве који задовошавају неједначине:

$15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}$ и $2\left( {x - 4} \right) \leqslant \frac{{3x - 14}}{2}$

 

Пр.1) Решити неједначине:

а) 

\[\begin{gathered}
{\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} < 12 - x \hfill \\
{x^2} - 2x + 1 - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) < 12 - x \hfill \\
{x^2} - 2x + 1 - {x^2} - 2x - 1 < 12 - x \hfill \\
- 4x < 12 - x \hfill \\
- 4x + x < 12 \hfill \\
- 3x < 12 \hfill \\
x > - 4 \hfill \\
x \in \left( { - 4; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \]

 

б) 

\[\begin{gathered}
{\left( {x - 4} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} < 3\left( {x - 9} \right) \hfill \\
{x^2} - 8x + 16 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) < 3x - 27 \hfill \\
{x^2} - 8x + 16 - {x^2} - 6x - 9 < 3x - 27 \hfill \\
- 14x + 7 < 3x - 27 \hfill \\
- 14x - 3x < - 7 - 27 \hfill \\
- 17x < - 34 \hfill \\
x > 2 \hfill \\
x \in \left( {2; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \]

 

в) 

\[\begin{gathered}
3x\left( {3x - 4} \right) - {\left( {3x + 1} \right)^2} < - 1 \hfill \\
9{x^2} - 12x - \left( {9{x^2} + 6x + 1} \right) < - 1 \hfill \\
9{x^2} - 12x - 9{x^2} - 6x - 1 < - 1 \hfill \\
- 18x < 0 \hfill \\
- 18x > \frac{0}{{ - 18}} \hfill \\
x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \]

 

г) 

\[\begin{gathered}
4\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 5} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 12 - 2{\left( {x - 1} \right)^2} \hfill \\
4x - 8 - \left( {2{x^2} - 6x - 5x + 15} \right) \leqslant 12 - 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \hfill \\
4x - 8 - 2{x^2} + 6x + 5x - 15 \leqslant 12 - 2{x^2} + 4x + 2 \hfill \\
4x - 2{x^2} + 6x + 5x + 2{x^2} - 4x \leqslant 12 + 2 + 8 + 15 \hfill \\
11x \leqslant 33 \hfill \\
x \leqslant 3 \hfill \\
\end{gathered} \]

 

Пр.2) Одредити заједнички скуп решења следећих неједначина:

а) 

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
2x - 1 \geqslant 0 \hfill \\
2x \geqslant 1 \hfill \\
x \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
x - 4 < 0 \hfill \\
x < 4 \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

678 jpg

\[x \in \left[ {\frac{1}{2};4} \right)\]

 

б) 

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
3 - \frac{{3x}}{2} > \frac{5}{8} - \frac{{4x - 3}}{6}| \cdot 24 \hfill \\
72 - 36x > 15 - 4\left( {4x - 3} \right) \hfill \\
72 - 36x > 15 - 16x + 12 \hfill \\
- 36x + 16x > 15 + 12 - 72 \hfill \\
- 20x > - 45 \hfill \\
x < \frac{{45}}{{20}} \hfill \\
x < \frac{9}{4} \hfill \\
x < 2\frac{1}{4} \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
2x\left( {x - 5} \right) - 27 \leqslant 2{\left( {x + 1} \right)^2} \hfill \\
2{x^2} - 10 - 27 \leqslant 2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) \hfill \\
2{x^2} - 10 - 27 \leqslant 2{x^2} + 4x + 2 \hfill \\
- 14x \leqslant 29 \hfill \\
x \geqslant - \frac{{29}}{{14}} \hfill \\
x \geqslant - 2\frac{1}{{14}} \hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

679 jpg

\[x \in \left[ { - 2\frac{1}{{14}};2\frac{1}{4}} \right)\]

 

Пр.3) Одреди све целе бројеве који задовошавају неједначине:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}| \cdot 3 \hfill \\
45x - 6 > 6x + 1 \hfill \\
45x - 6x > 6 + 1 \hfill \\
39x > 7 \hfill \\
x > \frac{7}{{39}} \hfill \\
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
2\left( {x - 4} \right) \leqslant \frac{{3x - 14}}{2}| \cdot 2 \hfill \\
4\left( {x - 4} \right) \leqslant 3x - 14 \hfill \\
4x - 16 \leqslant 3x - 14 \hfill \\
4x - 3x \leqslant 16 - 14 \hfill \\
x \leqslant 2 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}\]

680 jpg

\[x \in \left\{ {1,2} \right\}\]