Осми разред основне школе

Решавање линеарних једначина са једном непознатом 5

Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   У једначини $\left( {a - 3} \right)x + \left( {a + 1} \right)\left( {3 - x} \right) = x - 7$ одредити $a$ тако да она буде еквивалентна једначини $\frac{{x - 5}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} = x - 3$

Пр.2)   Решити једначину $\frac{{x + 2m}}{2} - \frac{{2x - m}}{2} = 4,5$ ако је ${\left( {m - 2} \right)^2} = {m^2} + 3m - 17$

Пр.3)   Одредити $a$ у једначини $\left( {2a - x} \right)\left( {3 - x} \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {a + x} \right) - 1$ тако да она буде еквивалентна са једначином ${\left( {x - 3} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 2\left( {x - 6} \right)$.

Пр.4)   Дате су једначине $\frac{{2a - x}}{3} + \frac{x}{2} = \frac{5}{3}$ и $\frac{y}{2} + y - a = 1$.

Одредити $a$ тако да буде $x = y$.

Пр.1) Прво решимо другу једначину.

$  \frac{{x - 5}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} = x - 3 $
$  \frac{{x - 5}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} = x - 3\left| { \cdot 6} \right. $
$  \frac{{x - 5}}{3} \cdot 6 - \frac{{x - 2}}{2} \cdot 6 = x \cdot 6 - 3 \cdot 6 $
$ 2\left( {x - 5} \right) - 3\left( {x - 2} \right) = 6x - 18 $
$  2x - 10 - 3x + 6 = 6x - 18 $
$  - x - 4 = 6x - 18 $
$  - x - 6x =  - 18 + 4$
$   - 7x =  - 14 $
$ x = \frac{{ - 14}}{{ - 7}} $
$  x = 2 $

Затим у прву једначину ставићемо уместо $x$ број $2$ (еквивалентне једначине) и ћемо решити нову једначину. 

$\left( {a - 3} \right)x + \left( {a + 1} \right)\left( {3 - x} \right) = x - 7$
$\left( {a - 3} \right)2 + \left( {a + 1} \right)\left( {3 - 2} \right) = 2 - 7$
$2a - 6 + \left( {a + 1} \right) \cdot 1 =  - 5 $
$2a - 6 + a + 1 =  - 5$
$3a - 5 =  - 5 $
$3a =  - 5 + 5$
$3a = 0$
$a = \frac{0}{3} $
$ a = 0 $

 

Пр.2) Прво израчунаћемо $m$ из друге једначине.

${\left( {m - 2} \right)^2} = {m^2} + 3m - 17$

${m^2} - 4m + 4 = {m^2} + 3m - 17$

${m^2} - 4m - {m^2} - 3m =  - 4 - 17$

$ - 7m =  - 21$

$m = \frac{{ - 21}}{{ - 7}}$

$m = 3$

Ову тројку убацимо у прву једначину.

$\frac{{x + 2m}}{2} - \frac{{2x - m}}{2} = 4,5$

$\frac{{x + 6}}{2} - \frac{{2x - 3}}{2} = 4,5\left| { \cdot 2} \right.$

$\frac{{x + 6}}{2} \cdot 2 - \frac{{2x - 3}}{2} \cdot 2 = 4,5 \cdot 2$

$x + 6 - 2x + 3 = 9$

$ - x + 9 = 9$

$ - x = 0$

$x = 0$

 

Пр.3) 

${\left( {x - 3} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 2\left( {x - 6} \right)$

${x^2} - 6x + 9 - {x^2} - 2x - 1 = 2x - 12$
$ - 8x + 8 = 2x - 12$
$- 8x - 2x =  - 12 - 8$
$- 10x =  - 20$
$x = \frac{{ - 20}}{{ - 10}}$
$x = 2$

 

$\left( {2a - x} \right)\left( {3 - x} \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {a + x} \right) - 1$
$\left( {2a - 2} \right)\left( {3 - 2} \right) = \left( {5 + 2} \right)\left( {a + 2} \right) - 1$
$\left( {2a - 2} \right) \cdot 1 = 7\left( {a + 2} \right) - 1$
$2a - 2 = 7a + 14 - 1$
$2a - 7a = 14 - 1 + 2$
$- 5a = 15$
$a =  - 3$

 

Пр.4)

$\frac{{2a - x}}{3} + \frac{x}{2} = \frac{5}{3}$
$\frac{{2a - x}}{3} + \frac{x}{2} = \frac{5}{3}\left| { \cdot 6} \right.$
$\frac{{2a - x}}{3} \cdot 6 + \frac{x}{2} \cdot 6 = \frac{5}{3} \cdot 6$
$2\left( {2a - x} \right) + 3x = 10$
$4a - 2x + 3x = 10$
$4a + x = 10$
$\underline {x = 10 - 4a} $


$\frac{y}{2} + y - a = 1$
$\frac{y}{2} + y - a = 1\left| { \cdot 2} \right.$
$\frac{y}{2} \cdot 2 + y \cdot 2 - a \cdot 2 = 1 \cdot 2$
$y + 2y - 2a = 2$
$3y - 2a = 2$
$3y = 2 + 2a$
$\underline {y = \frac{{2 + 2a}}{3}} $


$x = y$
$10 - 4a = \frac{{2 + 2a}}{3}$
$10 - 4a = \frac{{2 + 2a}}{3}\left| { \cdot 3} \right.$
$10 \cdot 3 - 4a \cdot 3 = \frac{{2 + 2a}}{3} \cdot 3$
$30 - 12a = 2 + 2a$
$ - 12a - 2a = 2 - 30$
$ - 14a =  - 28$
$a = \frac{{ - 28}}{{ - 14}}$
$a = 2$