Осми разред основне школе

Пребројавање геометријских елемената

Пребројавање геометријских елемената. Решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   а) Колико најмање, а колико највише правих је одређено са девет различитих тачака?

           б) Колико најмање, а колико највише равни је одређено са четири паралелне праве?

Пр.2)   Дате су две мимоилазне праве $a$ и $b$ и трећа права $t$, нормална на праву $a$.

У каквом међусобном положају могу бити праве $b$ и $t$? Нацртати слику и одредити све могуће положаје праве $t$.

Пр.3)   Дате су две паралелне праве $a$ и $b$ и трећа права $t$, нормална на праву $a$. У  каквом међусобном положају могу бити праве $b$ и $t$? Нацртати слику и одредити све могуће положаје праве $t$.

Пр.4)   На турниру у малом фудбалу учествовало је 15 екипа. Колико је укупно утакмица одиграно, ако је играо свако са сваким? Ако се играло пет утакмица дневно, колико дана је трајао турнир?

Пр.5)   На сусрету малих математикчара школа из Војводине, неке школе су послале по једног представника и нико се ни са ким није познавао. Свако се са сваким упознао, а када су се прикључила још три ученика, број упоунавања се повећао за 126. Колико је учесника било на почетку сусрета?

Пр.6)   Првог септембра у Гимназију "Исидора Секулић" дошли су неки ученици и установили да се нико ни са ким не познаје. После прозивке установљено је да четири ученика нису дошла. Свако се са сваким упознао. Да су дошли сви ученици број упознавања би био већи за 106. Колико је било присутно ученика?

Пр.1) 

14

Ако су све ове тачке колинеарне имамо само једну праву то је најмања количина правих одређених са овим различитим тачкама.

Ако тачке формирају деветоугао (никоjе три нису колинеарне) онда ћемо користи формулу  \[\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\] израчунамо колико је правих одређено са девет различитих тачака.

\[\frac{{9 \cdot 8}}{2} = 9 \cdot 4 = 36\]

У овам задатку имамо најмање 1, а  највише 36 правих које су одређене са девет различитих тачака.

б) Ако су све праве паралелне и налазе се у једној равни одакле најмане имамо једну раван.

У случају кад праве нису у једној равни ми упарујемо по две праве  и опет ћемо користи формулу \[\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\] где је $n = 4$ добићемо \[\frac{{4 \cdot 3}}{2} = 6\]

Израчунали смо да најмање 1, а највише 6 равни је одређено са четири паралелне праве.

Пр.2) Нацртаћемо модел квадра и одредићемо све могуће положаје праве $t$.

16

Пр.3) 

15

Пр.4)  За $n = 15$

\[\frac{{n \cdot \left( {n - 1} \right)}}{2} = \frac{{15 \cdot 14}}{2} = 15 \cdot 7 = 105\]

Одиграно је укупно утакмица.

\[105:5 = 21\]

турнир је трајао 21 дан.

Пр.5)  

\[\begin{gathered}
  \frac{{\left( {n + 3} \right) \cdot \left( {n + 3 - 1} \right)}}{2} - \frac{{n \cdot \left( {n - 1} \right)}}{2} = 126 \hfill \\
  \frac{{\left( {n + 3} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}}{2} - \frac{{n \cdot \left( {n - 1} \right)}}{2} = 126 \hfill \\
  \frac{{{n^2} + 3n + 2n + 6}}{2} - \frac{{{n^2} - n}}{2} = 126 \hfill \\
  \frac{{{n^2} + 5n + 6 - {n^2} + n}}{2} = 126 \hfill \\
  \frac{{6n + 6}}{2} = 126 \hfill \\
  6n + 6 = 126 \cdot 2 \hfill \\
  6n + 6 = 252 \hfill \\
  6n = \frac{{246}}{6} \hfill \\
  n = 41 учесника \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.6)   Првог септембра у Гимназију "Исидора Секулић" дошли су неки ученици и установили да се нико ни са ким не познаје. После прозивке установљено је да четири ученика нису дошла. Свако се са сваким упознао. Да су дошли сви ученици број упознавања би био већи за 106. Колико је било присутно ученика?

\[\begin{gathered}
  \frac{{n \cdot \left( {n - 1} \right)}}{2} - \frac{{\left( {n - 4} \right) \cdot \left( {n - 4 - 1} \right)}}{2} = 106 \hfill \\
  \frac{{n \cdot \left( {n - 1} \right)}}{2} - \frac{{\left( {n - 4} \right) \cdot \left( {n - 5} \right)}}{2} = 106 \hfill \\
  \frac{{{n^2} - n}}{2} - \frac{{{n^2} - 4n - 5n + 20}}{2} = 106 \hfill \\
  \frac{{{n^2} - n - {n^2} + 4n + 5n - 20}}{2} = 106 \hfill \\
  \frac{{8n - 20}}{2} = 106 \hfill \\
  8n - 20 = 106 \cdot 2 \hfill \\
  8n = 212 + 20 \hfill \\
  8n = 232 \hfill \\
  n = 29 \hfill \\
\end{gathered} \]

$29 - 4 = 25$  било  је присутно ученика.