Осми разред основне школе

Површина четворостране пирамиде

Дефиниције, формуле, решени задаци.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр1)   Израчунати површину четворостране пирамиде чија је основа

           правоугаоник са ивицама 10cm и 32cm, а висина је 12cm.

Пр.2)   Бочна страна правилне четворостране пирамиде је нагнута према

            равни основе под углом од ${60^ \circ }$. Ако је висина пирамиде

            12cm, израчунати површину те пирамиде.

Пр.3)   Бочна ивица правилне четворостране пирамиде је нагнута према

            равни основе под углом од ${45^ \circ }$. Ако је висина пирамиде

            6cm, израчунати површину те пирамиде.

Пр.4)   Врх громобрана који има облик правилне четворостране

           пирамиде са основном ивицом 2,6cm и бочном ивицом

           8,5cm, треба позлатити. Колику површину треба позлатити?

 

Пр1) 

 698 jpg

\[\begin{gathered}
a = 10cm \hfill \\
b = 32cm \hfill \\
\underline {H = 12cm} \hfill \\
P = ? \hfill \\
\hfill \\
P = B + M \hfill \\
B = ab = 10 \cdot 32 = 320c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
M = 2\frac{{a \cdot {h_a}}}{2} + 2\frac{{b \cdot {h_b}}}{2} \hfill \\
M = a \cdot {h_a} + b \cdot {h_b} \hfill \\
\hfill \\
{h_b}^2 = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
{h_b}^2 = {12^2} + {\left( {\frac{{10}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{h_b}^2 = {12^2} + {5^2} \hfill \\
{h_b}^2 = 144 + 25 \hfill \\
{h_b}^2 = 169 \hfill \\
{h_b} = 13cm \hfill \\
\hfill \\
{h_a}^2 = {H^2} + {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} \hfill \\
{h_a}^2 = {12^2} + {\left( {\frac{{32}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{h_a}^2 = {12^2} + {16^2} \hfill \\
{h_a}^2 = 144 + 256 \hfill \\
{h_a}^2 = 400 \hfill \\
{h_a} = 20cm \hfill \\
\hfill \\
M = a \cdot {h_a} + b \cdot {h_b} = 10 \cdot 20 + 32 \cdot 13 = 320 + 499 = 819c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   

700 jpg

\[\begin{gathered}
\alpha = {60^ \circ } \hfill \\
\underline {H = 12cm} \hfill \\
P = ? \hfill \\
\hfill \\
h = a \hfill \\
H = \frac{{h\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
12 = \frac{{h\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
h\sqrt 3 = 12 \cdot 2 \hfill \\
h\sqrt 3 = 24 \hfill \\
h = \frac{{24}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \hfill \\
h = 8\sqrt 3 cm \hfill \\
a = h = 8\sqrt 3 cm \hfill \\
\hfill \\
P = B + M \hfill \\
B = {a^2} = {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 192c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
M = 4\frac{{ah}}{2} = 4\frac{{8\sqrt 3 \cdot 8\sqrt 3 }}{2} = 384c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
P = B + M = 192 + 384 = 576c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

 

Пр.3)   

701 jpg

\[\begin{gathered}
\alpha = {45^ \circ } \hfill \\
\underline {H = 6cm} \hfill \\
P = ? \hfill \\
\hfill \\
H = \frac{d}{2} \hfill \\
6 = \frac{d}{2} \hfill \\
d = 12cm \hfill \\
d = a\sqrt 2 \hfill \\
12 = a\sqrt 2 \hfill \\
a = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2 cm \hfill \\
\hfill \\
{h^2} = {H^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
{h^2} = {6^2} + {\left( {\frac{{6\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} \hfill \\
{h^2} = 36 + {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} \hfill \\
{h^2} = 36 + 18 = 54 \hfill \\
h = \sqrt {54} = 3\sqrt 6 cm \hfill \\
\hfill \\
P = B + M \hfill \\
B = {a^2} \hfill \\
B = {\left( {6\sqrt 2 } \right)^2} = 36 \cdot 2 = 72c{m^2} \hfill \\
\hfill \\
M = 4\frac{{ah}}{2} = 4\frac{{6\sqrt 2 \cdot 3\sqrt 6 }}{2} = 72\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
P = 72 + 72\sqrt 3 c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.4)   

693 jpg

\[\begin{gathered}
a = 2,6cm \hfill \\
\underline {s = 8,5cm} \hfill \\
M = ? \hfill \\
\hfill \\
{s^2} = {h^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \hfill \\
{8,5^2} = {h^2} + {\left( {\frac{{2,6}}{2}} \right)^2} \hfill \\
{72,25^2} = {h^2} + 1,69 \hfill \\
{h^2} = 70,56 \hfill \\
h = \sqrt {70,56} = 8,4cm \hfill \\
\hfill \\
M = 4\frac{{ah}}{2} = 4\frac{{2,6 \cdot 8,4}}{2} = 43,68c{m^2} \hfill \\
\end{gathered} \]