Осми разред основне школе

Линеарне једначине са једном непознатом - понављање градива

Решени задаци, припрема за контролни задатак.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Решити једначине:

           а) $ - 5x + 3 =  - 12$

           б) $3\left( {x + 1} \right) =  - 9$

           в) $\frac{1}{5}x + \frac{3}{5} =  - 2$

           г) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}=1$

Пр.2)   Решити једначине:

           а) $5\left( {x - 2} \right) =  - 12 + 4x$

           б) $\frac{{x - 3}}{4} + \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$

           в) $\frac{{x + 3}}{2} - \frac{{x - 1}}{4} =  - 1$

Пр.3)   Одредити $a$, ако је број 2 решење једначине:

           а) $2a + x =  - 6$

           б) $3a + \frac{{x - 4}}{2} =  - 5$

Пр.4)   У једначини одредити $m$, тако да једначине буду еквивалентне:

            $3x + 10 = 7$ и $mx + 11 = 6$.

Пр.5)   Решити једначине:

           а) ${\left( {x - 2} \right)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = {\left( {x + 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)$

           б) $\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 5} \right)}}{4} = 3 - \left( {x - 2} \right)$

           в) ${\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{{\left( {6x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} = 4$
Пр.6)   У први камион је утоварено $\frac{3}{8}$ терета, а у други $\frac{2}{5}$
            остатка, а у трећи преосталих 13,5 тона. Колики терет превози
            сваки камион.
Пр.7)   На једном градилишту је 900 радника, а на другом 325. Због
           потребе  посла, једна група радника са првог градилишта пређе
           на друго, тако да је сада на другом градилишту четири пута више 
           радника него на првом. Колико је радника прешло са првог
           градилишта на друго?

Пр.1)   а) $ - 5x + 3 =  - 12$

\[\begin{gathered}
   - {\text{ }}5x{\text{ }} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }} - {\text{ }}12 \hfill \\
   - {\text{ }}5x{\text{  = }} - {\text{ }}12 - 3 \hfill \\
   - {\text{ }}5x{\text{  = }} - {\text{ }}15 \hfill \\
  x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \]

           б) $3\left( {x + 1} \right) =  - 9$

\[\begin{gathered}
  3\left( {x + 1} \right) =  - 9\left| {:3} \right. \hfill \\
  x + 1 =  - 3 \hfill \\
  x =  - 4 \hfill \\
\end{gathered} \]

           в) $\frac{1}{5}x + \frac{3}{5} =  - 2$

\[\begin{gathered}
  \frac{1}{5}x + \frac{3}{5} =  - 2\left| { \cdot 5} \right. \hfill \\
  x + 3 =  - 10 \hfill \\
  x =  - 13 \hfill \\
\end{gathered} \]

           г) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}=1$

\[\begin{gathered}
  \frac{1}{2}x - \frac{1}{3} = 1\left| { \cdot 6} \right. \hfill \\
  3x - 2 = 6 \hfill \\
  3x = 8 \hfill \\
  x = \frac{8}{3} \hfill \\
  x = 2\frac{2}{3} \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2)   а) $5\left( {x - 2} \right) =  - 12 + 4x$

\[\begin{gathered}
  5\left( {x - 2} \right) =  - 12 + 4x \hfill \\
  5x - 10 =  - 12 + 4x \hfill \\
  5x - 4x =  - 12 + 10 \hfill \\
  x =  - 2 \hfill \\
\end{gathered} \]

           б) $\frac{{x - 3}}{4} + \frac{x}{2} = \frac{1}{3}$

\[\begin{gathered}
  \frac{{x - 3}}{4} + \frac{x}{2} = \frac{1}{3}\left| { \cdot 12} \right. \hfill \\
  3\left( {x - 3} \right) + 6x = 4 \hfill \\
  3x - 9 + 6x = 4 \hfill \\
  9x = 13 \hfill \\
  x = \frac{{13}}{9} \hfill \\
  x = 1\frac{4}{9} \hfill \\
\end{gathered} \]

           в) $\frac{{x + 3}}{2} - \frac{{x - 1}}{4} =  - 1$

\[\begin{gathered}
  \frac{{x + 3}}{2} - \frac{{x - 1}}{4} =  - 1\left| { \cdot 4} \right. \hfill \\
  2\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 1} \right) =  - 4 \hfill \\
  2x + 6 - x + 1 =  - 4 \hfill \\
  x =  - 11 \hfill \\
\end{gathered} \]

 

Пр.3)  а) $2a + x =  - 6$

\[\begin{gathered}
  2a + x =  - 6 \hfill \\
  2a + 2 =  - 6 \hfill \\
  2a =  - 8 \hfill \\
  a =  - 4 \hfill \\
\end{gathered} \]

           б) $3a + \frac{{x - 4}}{2} =  - 5$

\[\begin{gathered}
  3a + \frac{{x - 4}}{2} =  - 5 \hfill \\
  3a + \frac{{2 - 4}}{2} =  - 5 \hfill \\
  3a + \frac{{ - 2}}{2} =  - 5 \hfill \\
  3a - 1 =  - 5 \hfill \\
  3a =  - 4 \hfill \\
  a =  - \frac{4}{3} \hfill \\
\end{gathered} \]

 

Пр.4)   У једначини одредити $m$, тако да једначине буду еквивалентне:

            $3x + 10 = 7$ и $mx + 11 = 6$.

\[\begin{gathered}
  3x + 10 = 7 \hfill \\
  3x = 7 - 10 \hfill \\
  3x =  - 3 \hfill \\
  x =  - 1 \hfill \\
\end{gathered} \]

 

\[\begin{gathered}
  mx + 11 = 6 \hfill \\
  m \cdot \left( { - 1} \right) + 11 = 6 \hfill \\
   - m = 6 - 11 \hfill \\
  m = 5 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.5)   а) ${\left( {x - 2} \right)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = {\left( {x + 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)$

\[\begin{gathered}
  {\left( {x - 2} \right)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = {\left( {x + 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) \hfill \\
  {x^2} - 4x + 4 - \left( {{x^2} - {3^2}} \right) = {x^2} + 8x + 16 - \left( {{x^2} - {5^2}} \right) \hfill \\
  {x^2} - 4x + 4 - {x^2} + 9 = {x^2} + 8x + 16 - {x^2} + 25 \hfill \\
   - 4x + 13 = 8x + 41 \hfill \\
   - 4x - 8x = 41 - 13 \hfill \\
   - 12x = 28 \hfill \\
  x = \frac{{28}}{{ - 12}} \hfill \\
  x = \frac{7}{{ - 3}} \hfill \\
  x =  - 2\frac{1}{3} \hfill \\
\end{gathered} \]

 

           б) $\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 5} \right)}}{4} = 3 - \left( {x - 2} \right)$

\[\begin{gathered}
  \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{2} - \frac{{2{x^2} - 5x - 6x + 15}}{4} = 3 - x + 2 \hfill \\
  \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{2} - \frac{{2{x^2} - 11x + 15}}{4} = 5 - x\left| { \cdot 4} \right. \hfill \\
  2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {2{x^2} - 11x + 15} \right) = 20 - 4x \hfill \\
  2{x^2} - 4x + 2 - 2{x^2} + 11x - 15 = 20 - 4x \hfill \\
  11x = 33 \hfill \\
  x = 3 \hfill \\
\end{gathered} \]

           в) ${\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{{\left( {6x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} = 4$
\[\begin{gathered}
  {\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{{\left( {6x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} = 4 \hfill \\
  {x^2} - 6x + 9 - \frac{{6{x^2} - 6x - 2x + 2}}{6} = 4\left| { \cdot 6} \right. \hfill \\
  6{x^2} - 36x + 54 - 6{x^2} + 6x + 2x - 2 = 24 \hfill \\
   - 28x = 24 - 52 \hfill \\
   - 28x =  - 28 \hfill \\
  x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \]
Пр.6)   Обележићемо са $x$ - укупан терет. Онда
\[\begin{gathered}
  \frac{3}{8}x + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8}x + 13,5 = x \hfill \\
  \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}x + 13,5 = x\left| { \cdot 8} \right. \hfill \\
  3x + 2x + 108 = 8x \hfill \\
  3x + 2x - 8x =  - 108 \hfill \\
   - 3x =  - 108 \hfill \\
  x = 36\left( t \right) \hfill \\
\end{gathered} \]
Сада можемо израчунати терет превози сваког камиона.
Први камион:
\[\frac{3}{8}x = \frac{3}{8} \cdot 36 = \frac{{27}}{2} = 13,5\left( t \right)\]
Други камион:
\[\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8}x = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{8} \cdot 36 = 9\left( t \right)\]
Трећи камион:
\[13,5\left( t \right)\]

 

Пр.7)  Обележићемо са $x$ - број радника, кој је прешао са првог градилишта на друго.
\[\begin{gathered}
  325 + x = 4\left( {900 - x} \right) \hfill \\
  325 + x = 3600 - 4x \hfill \\
  x + 4x = 3600 - 325 \hfill \\
  5x = 3275 \hfill \\
  x = 655 \hfill \\
\end{gathered} \]